Debes tener en cuenta las identidades:

sen(2x) = 2senx*cosx

cos(3x) = cos³x - 3cosx*sen²x.

Luego sustituyes en la identidad del enunciado y queda:

2senx*cosx = cos³x - 3cosx*sen²x, haces pasajes de términos y queda:

2senx*cosx - cos³x + 3cosx*sen²x = 0, extraes factor común y queda:

cosx(2senx - cos²x + 3sen²x) = 0, luego por anulación de un producto tienes dos opciones:

a) cosx = 0, que corresponde a: x = 90°, 270°, 450°, 630°, ..., en general: x = 90° + 180° * k, con k ∈ Z.

b) 2senx - cos²x + 3sen²x = 0, sustituyes el coseno al cuadrado (recuerda: cos²x = 1 - sen²x) y queda:

2senx - (1 - sen²x) + 3sen²x = 0, distribuyes, reduces términos semejantes, ordenas y queda:

4sen²x + 2senx - 1 = 0, luego aplicas la sustitución (cambio de incógnita): w = senx (observa que w toma valores entre -1 y 1) y queda:

4w² + 2w - 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, por lo que tenemos dos opciones:

b1) w = (-2 - √20)/8 ≅ - 0,809 = senx,

que corresponde a un ángulo en el tercer cuadrante y a otro en el cuarto cuadrante, cuyas expresiones generales son:

x = 234° + 360° * k, con k ∈ Z,

x = 306° + 360° * k, con k ∈ Z,

b2) w = (-2 + √20)/8 ≅ 0,309 0 senx,

que corresponde a un ángulo en el primer cuadrante y a otro en el segundo cuadrante, cuyas expresiones generales son:

x = 18° + 360° * k, con k ∈ Z,

x = 162° + 360° * k, con k ∈ Z.

Espero haberte ayudado.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Por favor, verifica que esté correctamente escrita la identidad en tu enunciado para que podamos ayudarte.

Ejercicio B, muchas gracias

Primero debes observar que la función h es diferenciable en R², por lo que puedes plantear las derivadas parciales tal como has hecho. Luego, observa que el vector dirección u =  < 4/5 , 3/5 > es unitario (y si no lo fuese, divides a sus componentes por el módulo del vector).

Luego, como no tienes el punto, deberás plantear la derivada direccional en general, para un punto genérico P(x,y).

Luego, por teorema, sabemos que si la función h es diferenciable, entonces su derivada direccional puede plantearse como el producto escalar entre el vector gradiente evaluado en el punto por el vector unitario que indica la dirección:

Duh(x,y) = ∇h(x,y) • u = < 2cos(x) - 2xsen(x) - ysen(x) - 8x , 2y + cos (x) > • < 4/5 , 3/5 > =

resolvemos el producto escalar y queda:

= (4/5)( 2cos(x) - 2xsen(x) - ysen(x) - 8x ) + (3/5)( 2y + cos (x) ).

Espero haberte ayudado.

Me quedo más que claro. Muchísimas gracias!!!

Vamos con una orientación: mostraremos que la imagen de la transformación es igual a su codominio V.

Observa que tienes el conjunto de tres vectores linealmente independientes: A = { v , T(v) , T( T(v) ) }, por lo tanto A es base del espacio vectorial V.

Luego, veamos el conjunto cuyos elementos son los correspondientes vectores transformados (observa que aplicamos un dato del enunciado):

{ T(v), T( T(v) ) , T( T( T(v) ) ) } = { T(v), T( T(v) ) , v } = A.

Por lo tanto, tenemos que los tres vectores transformados (que pertenecen a la imagen de la transformación) son linealmente independientes, por lo que tenemos que la imagen es el espacio vectorial V y, por lo tanto, la transformación es biyectiva.

Espero haberte ayudado.

El sistema no tiene solución única, es compatible indeterminado, como puedes verificar calculando su determinante, que es igual a cero. Por lo tanto, por ser un sistema homogéneo tiene infinitas soluciones. A partir de la ecuación matricial de la primera línea, a la derecha, queda el sistema:

(2-√5)x + 2y - z = 0

(-2-√5)y + z = 0, hacemos pasaje de término y queda: z = - (-2-√5)y = (2+√5)y (1)

-x - √5z = 0

sustituimos en las otras dos ecuaciones y queda:

(2-√5)x + 2y - (2+√5)y = 0

- x - √5(2+√5)y = 0, hacemos pasaje de término y queda: - √5(2+√5)y = x (2)

sustituimos en la otra ecuación y queda:

- √5(2+√5)(2-√5)y + 2y - (2+√5)y = 0, ditribuimos el primer factor en el primer término y queda:

(-2√5 - 5)(2-√5)y + 2y - (2+√5)y = 0, distribuimos el primer término y el tercer término y queda:

- 4√5y + 10y - 10y + 5√5y + 2y - 2y - √5y = 0, reducimos términos semejantes y llegamos a:

0 = 0, que es una identidad verdadera, por lo que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, que a partir de las ecuaciones señaladas (1) (2) quedan expresadas:

x = - √5(2+√5)y = - (5 + 2√5)y,

y ∈ R,

z = (2+√5)y

(observa que se verifica la última ecuación de tu enunciado: - √5z = - √5(2 + √5)y = - (2√5 + 5)y = x).

Luego, una solución particular del sistema homogéneo (una entre las infinitas soluciones que tiene) es la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0, que es la que indican en el enunciado.

Espero haberte ayudado.

Muchas Gracias!!

Vamos con la matriz del sistema, para luego plantear su determinante:

 1          a          0

-2     -(a+1)      1

1     (2a-1)    (a+2)

Luego resolvemos su determinante, por ejemplo por medio de la Regla de Sarrus, y queda:

D = -1(a+1)(a+2) + a - 0 - 0 + 2a(a+2) - (2a-1), cancelamos términos nulos, distribuimos y queda:

D = - a² - 2a - a - 2 + a + 2a² + 4a - 2a + 1, reducimos términos semejantes y queda:

D = a² - 1.

Luego, tal cuál afirmas, tenemos que el determinante es igual a cero en dos casos: a) a = 1, b) a = - 1.

Por lo tanto, ya sabemos que el sistema es compatible determinado para a ≠ 1 y a ≠ -1.

Luego pasamos a analizar los casos para los que el determinante es igual a cero:

a) reemplazamos a = 1, y la matriz ampliada del sistema queda:

 1      1      0       1

-2     -2      1      -1

 1      1      3       4

a la fila 2 le sumamos el doble de la fila 1, a la fila 3 le restamos la fila 1 y queda:

 1      1      0       1

 0      0     1        1

 0      0     3        3

a la fila 3 le restamos el triple de la fila 2 y queda:

1      1      0       1

 0      0     1        1

 0      0     0        0

luego, el sistema de ecuaciones equivalente queda:

x + y = 1, de donde despejamos: y = - x + 1,

z =1,

0 = 0, que es una identidad verdadera, por lo que el sistema resulta compatible indeterminado, y sus soluciones quedan expresadas:

x ∈ R, y = - x + 1, z = 1;

b) reemplazamos a = -1 y el sistema queda:

 1     -1      0       1

-2      0      1      -1

 1     -3      1       4

a la fila 2 le sumamos el doble de la fila 1, a la fila 3 le restamos la fila 1 y queda:

1     -1      0       1

0     -2      1       1

0     -2      1       3

a la fila 3 le restamos la fila 2 y queda:

1     -1      0       1

0     -2      1       1

0      0      0       2

luego, el sistema de ecuaciones equivalente queda:

x - y = 1

-2y + z = 1

0 = 2, que es una identidad absurda, por lo que el sistema resulta ser incompatible y no tiene solución.

Espero haberte ayudado.

Observa que el dominio de la función es: D = (-inf,3). Luego, llamamos sustituimos y por f(x) y queda:

y = ln(3 - x) + 1, hacemos pasaje de término y queda:

y - 1 = ln(3 - x), luego componemos en ambos miembros por la función inversa del logaritmo natural y queda:

e^y-1 = e^ln(3-x), observa que tenemos composición de funciones inversas entre sí en el segundo miembro, resolvemos y queda:

e^y-1 = 3 - x, hacemos pasajes de términos y llegamos a:

x = 3 - e^y-1.

Y para las funciones por las cuáles preguntas, si,  el procedimiento es similar.

Espero haberte ayudado.

Tienes el polinomio cuya expresión es: Q(x) = - x³ + kx² - 3, y debes encontrar k ∈ R para que 3 sea raíz del polinomio, lo que equivale a plantear, por el Teorema del Resto:

Q(3) = 0, reemplazas y queda:

- (3)³ + k(3)² - 3 = 0, resuelves términos y queda: 

- 27 + 9k - 3 = 0, reduces términos semejantes, haces pasaje de término y queda:

9k = 30, haces pasaje de factor como divisor y llegas a:

k = 10/3.

Por lo tanto, la expresión del polinomio queda: 

Q(x) = - x³ + (10/3)x² - 3.

Espero haberte ayudado.

Haces: pasaje de término y queda:

x³ = 8i, expresas al número complejo en forma polar

(observa que su módulo es 8 y su argumento 90°) y queda:

x³ = (8)_90°, haces pasaje de potencia como raíz y queda:

x = ∛( (8)_90° ), aplicas la Fórmula de De Moivre para raíces y queda:

x = ( ∛(8) )_{(90° + 360° * k)/3}, con k = 0, 1, 2, resuelves el módulo, distribuyes el denominador en el argumento y queda:

x = (2)_{30° + 120° * k}, con k = 0, 1, 2,

luego evaluamos para los distintos valores de k y tenemos tres soluciones (que expresamos también en forma trigonométrica y en forma cartesiana binómica)::

x₁ = (2)_30° = 2(cos30° + isen30°) = 2√(3)/2 + 2(1/2)i = √(3) + i;

x₂ = (2)_150° = 2(cos150° + isen150°) = 2(-√(3)/2) + 2(1/2)i = - √(3) + i; 

x₃ = (2)_270° = 2(cos270° + isen270°) = 2(0) + 1i) = 0 + 2i = 2i.

Espero haberte ayudado.