Por favor indica cuál es la expresión del elemento general de la sucesión para que podamos ayudarte.

Buenos días.

Esta es la expresión.

a_n  = 1/3¹  , 1/3²  , 1/3³  , 1/3⁴  , ...., 1/3ⁿ  ......,

Efectivamente, el límite del elemento general es L = 0.

Luego pasamos a la definición de límite de una sucesión, primero en general:

Lím(n->inf) a_n = L, si para todo ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que: si n > n₀ entonces | a_n - L | < ε.

Y ahora en particular para tu ejercicio (observa que tienes: L = 0 y ε = 0,001 = 1/1000):

Lím(n->inf) ( 1/3ⁿ ) = 0, si para todo ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que: si n > n₀ entonces | a_n - 0 |  = | 1/3ⁿ |  <  1/1000.

Luego partimos desde la última desigualdad:

| 1/3ⁿ |  <  1/1000, observa que el argumento del valor absoluto es positivo, por lo tanto queda:

1/3ⁿ  <  1/1000, hacemos pasajes de divisores (observa que son positivos) como factores y queda:

1000 < 3ⁿ,  escribimos la desigualdad leyéndola de derecha a izquierda y queda:

3ⁿ > 1000, tomamos logaritmos naturales en ambos miembros y queda:

n*ln(3) > ln(1000), hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

n > ln(1000)/ln(3), resolvemos el segundo miembro (con aproximación) y queda:

n > 6,2877 > 6 = n₀.

Hemos mostrado que para ε = 0,001, los elementos de la sucesión se aproximan a su límite (L = 0) por menos de dicho valor, a partir del séptimo término (n = 7 > 6).

Espero haberte ayudado.

Buenos días.

Eres un buen profesor, desde luego, te doy las gracias. 

Podría darme una explicación para el signo ( - ) que presenta Lím(n  -  >inf) an = L, y si entre  Lím(n  -  >inf)  y  an = L  se refiere a Lím(n->inf) ¿multiplica? a ( 1/3n ) = 0

gracias.

No se trata de un signo para operar, simplemente es "la flechita" que hemos empleado, para indicar que n tiende a infinito.

(indicamos "tiende a" con el símbolo "->").

Te recomiendo mires los vídeos sobre este tema. 

Para sistemas de tres o más ecuaciones, el método de Gauss es el más adecuado, pero es una cuestión de opinión.

Espero haberte ayudado.

Observa que los puntos que representan los elementos de la sucesión tienen abscisas n = 1, 2, 3, 4, ..., y tienen ordenadas a_n = 5n - 2, y algunos de ellos son:

(1,3), (2,8), (3,13), (4,18), ..., y en general: ( n , 5n - 2 ).

Observa que el primer punto del gráfico de tu imagen tiene abscisa 1.

Espero haberte ayudado.

Buenos días.

Pero es que lo que yo veo en la gráfica es que los puntos tienen cada vez una separación mayor y, en el eje de ordenadas no veo las referencias. Puede explicarme esto?

El gráfico es tentativo, y no está hecho a escala. Si lo haces manualmente, verás que la forma es similar.

Podrías decir que es igual a V(1/2-V(15)/8), pero tampoco es que simplifiques... Puedes dejarlo como lo ha dejado David en el comentario.

Saludos.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Comencemos con el estudio de la continuidad de la función en el origen y, como se trata de un punto definido especialmente, emplearemos la definición:

1) f(0,0) = 0, por lo que tenemos que la función está definida en el origen;

2) Lím( (x,y)->(0,0) ) f(x,y) = Lím( (x,y)->(0,0) ) ( (x⁴ + y³)/(x² + y²) ) = 0 = L (observa que es indeterminado, ya que el numerador y el denominador tienden a cero, pero los dos términos del numerador son de mayor grado que los dos términos del denominador, uno para cada variable); luego pasamos a demostrar por acotación:

0 ≤ | f(x,y) - L | = | (x⁴ + y³)/(x² + y²) - 0 | = | (x⁴ + y³)/(x² + y²) | = distribuimos el denominador:

= | x⁴/(x² + y²) + y³/(x² + y²) | ≤ aplicamos la desigualdad triangular:

≤ | x⁴/(x² + y²) | + | y³/(x² + y²) | = | x²*x²/(x² + y²) | + | y*y²/(x² + y²) | = distribuimos los valores absolutos:

= |x²|*| x²/(x² + y²) | + |y|*| y²/(x² + y²) | ≤ acotamos (observa que las expresiones remarcadas son menores que 1):

≤ |x²|*1 + |y|*1 = |x²| + |y|, que tiende a cero cuando x e y tienden ambos a cero.

3) Como el valor de la función en el origen coincide con el límite de la función tendiendo al origen, tenemos que la función es continua en el origen de coordenadas.

Luego pasamos a las derivadas parciales en el origen, que también plantearemos con las definiciones:

f_x(0,0) = Lím(h->0) ( f(0+h,0) - f(0,0) )/h = Lím(h->0) ( (h⁴ + 0)/(h²+0) )/h = Lím(h->0) (h⁴/h²)/h = Lim(h->0) h²/h = Lím(h->0) h = 0.

f_y(0,0) = Lím(k->0) ( f(0,0+k) - f(0,0) )/k = Lím(k->0) ( (0 + k³)/(0+k²)/k = Lím(k->0) (k³/k²)/k = Lím(k->0) k/k = 1.

Por lo tanto tenemos que la función admite derivadas parciales en el origen de coordenadas.

Luego, pasamos a la expresión general de la definición de diferenciabilidad en el origen de coordenadas:

f(0+h,0+k) = f(0,0) + fx(0,0)h + fy(0,0)k + ε(h,k)√(h²+k²) (1), y lím((h,k)->(0,0)) ε(h,k) = 0 (2),

luego sustituimos expresiones, reemplazamos valores que ya hemos calculado en la expresión señalada (1) y queda:

(h⁴ + k³)/(h²+k²) = 0 + 0h + 1k + ε(h,k)√(h²+k²), cancelamos términos nulos, hacemos pasaje de término y queda:

(h⁴ + k³)/(h²+k²) - k = ε(h,k)√(h²+k²), dividimos en todos los términos por √(h²+k²), resolvemos el denominador en el primer termino, y queda:

(h⁴ + k³)/(h²+k²)^3/2 - k/(h²+k²)^1/2 = ε(h,k).

Por último, solo queda calcular el límite de la función cuya expresión hemos encontrado, para cumplir con la condición señalada (2):

Lím((h,k)->(0,0)) ε(h,k) = Lím((h,k)->(0,0)) ( (h⁴ + k³)/(h²+k²)^3/2 - k/(h²+k²)^1/2 ) = separamos en términos y queda:

= Lím((h,k)->(0,0)) (h⁴ + k³)/(h²+k²)^3/2 - Lím((h,k)->(0,0)) k/(h²+k²)^1/2 = 1 - 1 = 0, observa que queda para que muestres que los límites de los dos términos son iguales a 1, para lo que deberás acotar (haz el intento, y si es necesario puedes volver a consultar).

Luego, tenemos que la función es diferenciable en el origen de coordenadas.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias! Fue de gran ayuda! Por ultimo, como seria la acotación de la ultima expresión? Intente, pero no sé que hacer por el exponente de 3/2. Muchas gracias de nuevo!

¿has visto este video?... Dominio funcion irracional
Haz una tabla de signos con (x+2)(x-2) y (x²+3) en los intervalos -∞...... .2.......2......∞
Nos cuentas despues ¿ok?

Para hallar las raices lo ideal es aplicar RUFFINI (pero es posible te vuelvas loco intentando encontrar una raiz entera)
Por tanto, solo te quedará la opción de CARDANO.. Echale un vistazo.. Formula de Cardano

Con la raiz obtenida, aplica RUffini para hallar un polinomio de segundo grado. Haz luego la ecuacion de segundo grado para hallar las raices que faltan.
Nos cuentas ¿ok?

Para n=1 hallas el primero.
Para n=2, hallas el segundo..
Para n=3 hallas el tercero...

"Solo" tienes que sustituir n por 1,2,3,4,5,

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)