Seguramente ya has estudiado cómo plantear las derivadas primeras para funciones a trozos con punto aislado, como la que tratas, por lo que partiremos de la expresión de la derivada primera con respecto a x (recuerda que empleamos la regla del cociente para la rama, y la definición para el origen):

fx(x,y) = 

(x⁴ + 3x²y²)/(x² + y²)²      si (x,y) ≠ (0,0)

1                                         si (x,y) = (0,0)

Luego, para la derivada segunda cruzada en el origen, volvemos a aplicar la definición por tratarse de un punto aislado:

f_xy(0,0) = Lím(h->0) ( f_x(0+h,0) - f_x(0,0) )/h = sustituimos, evaluamos términos y queda:

= Lím(h->0) ( h⁴/(h²)²  - 1)/h = Lím(h->0) (1 - 1)/h = Lím(h->0) 0/h = 0, 

por lo que tenemos que la derivada segunda, primero con respecto a x y luego con respecto a y, si está definida en el origen de coordenadas, y su valor es cero.

Luego, partimos de la derivada primera de la función con respecto a y, cuya expresión es:

f_y(x,y) =

-2x³y/(x² + y²)²           si (x,y) ≠ (0,0)

0                                   si (x,y) = (0,0)

Luego, para la derivada segunda cruzada en el origen, volvemos a aplicar la definición por tratarse de un punto aislado:

f_yx(0,0) = Lím(k->0) ( f_y(0,0+k) - f(0,0) )/k = sustituimos, evaluamos términos y queda:

= Lím(k->0) ( (0/(k²)² )/k = Lím(k->0) 0/k = 0,

por lo que tenemos que la derivada segunda, primero con respecto a y y luego con respecto a x, si está definida en el origen y su valor es cero.

Espero haberte ayudado.

fx(x,y) = 

(x4 + 3x2y2)/(x2 + y2)2      si (x,y) ≠ (0,0)

          →1←                       si (x,y) = (0,0)

¿Por qué aparece un 1 en vez de un 0? En el enunciado hay un 0, y no termino de comprender porque aparecería un 1. Disculpe las molestias, muchas gracias!

Planteamos la definición de derivada parcial de la función para calcularla en el origen:

fx(0,0) = Lím(h->0) ( f(0+h,0) - f(0,0) )/h = sustituimos a partir de la expresión de la función:

= Lím(h->0) ( h³/(h²+0²) - 0 )/h = resolvemos el numerador del agrupamiento:

= Lím(h->0) ( h³/h² )/h = resolvemos el cociente del agrupamiento:

= Lím(h->0) (h/h) = 1.

Por lo tanto, tienes para esta función:

f(0,0) = 0, y fx(0,0) = 1.

Espero haberte ayudado.

Debes recordar que el vector gradiente de una función diferenciable en un punto de su dominio tiene la propiedad de ser normal a la superficie de nivel de la función que pasa por dicho punto y, por lo tanto, es un vector normal al plano tangente a la superficie de nivel en el punto.

Observa que piden las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide de ecuación: x²+ 2y² + 3z² = 6,

que podemos considerar como una superficie de nivel de la función diferenciable cuya expresión es: F(x,y,z) = x²+ 2y² + 3z²,

cuyo gradiente es el vector de componentes:

u = ∇F(x,y,z) = < 2x , 4y , 6z >;

luego, nos dicen que los planos cuyas ecuaciones buscamos son paralelos al plano tangente al hiperboloide de una hoja de ecuación: 

x² + 4y² - 5z² = 17,

que podemos considerar como una superficie de nivel de la función diferenciable cuya expresión es: G(x,y,z) = x² + 4y² - 5z²,

cuyo gradiente es el vector de componentes:

v = ∇G(x,y,z) = < 2x, 8y , -10z >,

y como conocemos el punto de tangencia A(1,2,0), evaluamos al vector tangente y queda:

v = ∇G(1,2,0) = < 2 , 16 , 0 >, que es un vector normal al plano tangente al hiperboloide en el punto A y,

como los planos tangentes al elipsoide son paralelos, tenemos que cualquier múltiplo escalar de este vector puede ser también vector normal a ellos, por lo que tenemos para los vectores normales a los planos tangentes al elipsoide:

u = ∇F(x,y,z) = < 2x , 4y , 6z > = k< 2 , 16 , 0 > = < 2k , 16k , 0 >,

luego igualamos componente a componente y tenemos para las coordenadas de los puntos de tangencia del elipsoide:

2x = 2k, de donde despejamos: x = k,

4y = 16k, de donde despejamos: y = 4k,

6z = 0, de donde despejamos: z = 0,

luego sustituimos en la ecuación del elipsoide y queda:

(k)² + 2(4k)² + 3(0)²= 6, resolvemos el primer miembro y queda:

33k² = 6, dividimos en ambos miembros por 33 y queda:

k² = 2/11, luego hacemos pasaje de potencia como raíz y tenemos dos opciones:

a) k = √(2/11), que nos conduce al punto P₁( √(2/11), 4√(2/11) , 0 );

b) k = -√(2/11), que nos conduce al punto P₂( -√(2/11), -4√(2/11) , 0 ).

Por último, con el vector normal: v = < 2 , 16 , 0 > (observa que el vector v es paralelo al vector u, por lo que también es normal a los planos tangentes al elipsoide), y cada uno de los puntos, planteamos las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide:

Para el primer punto, planteamos:

2( x - √(2/11) ) + 16( y - 4√(2/11) ) + 0( z - 0 ) = 0, cancelamos el término nulo, dividimos en todos los términos por 2 y queda:

( x - √(2/11) ) + 8( y - 4√(2/11) ) = 0.

Para el segundo punto planteamos:

2( x - (-√(2/11)) ) + 16( y - (-4√(2/11)) ) + 0( z - 0 ) = 0, cancelamos el término nulo, resolvemos signos, dividimos en todos los términos por 2 y queda:

( x + √(2/11) ) + 8( y + 4√(2/11) ) = 0.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias.

Echale un vistazo... Diagramas de Venn

Uno de ellos es casi identico...

A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Echales un vistazo... Diagramas de Venn

Hay uno casi identico... A partir de ahí, se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Observa que la recta que tienes en el enunciado tiene pendiente: m₁ = 3.

Luego, por la condición de perpendicularidad entre rectas, toda recta perpendicular a ella tendrá pendiente: m₂ = -1/m₁= -1/3.

Luego, como tienes un punto de la recta perpendicular, puedes plantear su ecuación cartesiana:

y = (-1/3)( x - (-4) ) + 2, distribuyes y queda:

y = (-1/3)x - 4/3 + 2, reduces términos numéricos y llegas a:

y = (-1/3)x + 2/3.

Espero haberte ayudado.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Puedes plantear un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, a partir de la doble igualdad del enunciado:

d(P,Q) = d(P,M)

d(P,Q) = d(P,L)

elevas al cuadrado en ambas ecuaciones y queda:

d(P,Q)² = d(P,M)²

d(P,Q)² = d(P,L)²

luego expresamos las distancias en función de las coordenadas de los puntos y queda:

(x - 1)² + (y - 1)² + (z - 0)² = (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)²

(x - 1)² + (y - 1)² + (z - 0)² = (x - 0)² + (y - 0)² + (z - 1)²

luego cancelas términos, desarrollas, reduces términos semejantes y queda:

0 = - 2z + 1, de donde puedes despejar: z = 1/2 (1)

- 2x + 1 - 2y + 1 = - 2z + 1
luego reemplazas el valor señalada (1) en la segunda ecuación y queda:

- 2x - 2y + 2 = 0, divides por 2 en todos los términos y queda: - x - y + 1 = 0, que puede escribirse también: x + y = 1 (2).

Luego, la recta queda expresada como la intersección entre los planos cuyas ecuaciones son las señaladas (1) (2):

z = 1/2

x + y = 1, luego despejamos: y = 1 - x,

Luego puedes intentar parametrizar la recta, indicando por ejemplo x = t, y continuar la tarea y, si te es preciso, puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Si no nos dejas ningun ejemplo... La bola de cristal con la que adivino vuestras dudas se me estropeó la semana pasada :P

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)