Pon ejercicio y lo vemos

Ambas definiciones son equivalentes. Se elige una u otra según la función y pensando en la comodidad de los cálculos. La definición con "h" de adapta mejor a la aplicación de infinitésimos equivalentes.

Gracias.

Gracias.

Observa que te proponen la sustitución: 

√(4 + x²) = 2secθ , de donde tienes: (1/2)√(4 + x²) = secθ (*), y también tienes:

4 + x²  = 4sec²θ, luego tienes al diferenciar:

2xdx = 8secθ*sec²θ*senθ* dθ = 8sec²θ*tanθ*dθ, luego despejas y queda (empleamos el primer miembro y el último miembro de la cadena de igualdades:

xdx = 4sec²θ*tanθ*dθ

Luego, pasas a sustituir:

I = ∫ ( xdx / √(4 + x²) ) =  ∫ ( 4sec²θ*tanθ*dθ / 2secθ ) = 2 ∫ ( secθ*tanθ*dθ)

Luego, puedes plantear la sustitución:

y = secθ = 1/cosθ,  luego su diferencial queda:

dy = ( -1/cos²θ ) * (-senθ)*dθ = ( senθ/cosθ )( 1/cosθ)dθ = tanθ*secθ*dθ,

luego sustituyes y la integral queda:

I = 2 ∫ dy = y + C = 2secθ + C = .sustituimos a partir de la ecuación señalada (*) = 2(1/2)√(4 + x²) + C = √(4 + x²) + C.

Espero haberte ayudado.

Observa que la expresión del primer trozo la puedes escribir:

(x² +y² + 2xy²)/(x² + y²) = luego agrupas los dos primeros términos en el numerador, distribuyes el denominador y queda:

= (x² +y²)/(x² +y²) + 2xy²/(x² +y²) = 1 + 2xy²/(x² +y²).

Luego, puedes continuar la tarea del cálculo del límite para (x,y) tendiendo a (0,0), y observa que el primer término es constante, y que el segundo tiene límite igual a cero, y podrás demostrarlo con el teorema de acotación (o de encaje, o "del sandwich"), como seguramente has hecho en clase en otros ejercicios.

Espero haberte ayudado.

Vamos a aplicar el método de las fracciones parciales (observa que las raíces del denominador son 1 y -2):

2/(x-1)(x+2) = a/(x-1) + b/(x+2) = ( a(x+2) + b(x-1) ) / (x+2)(x-1) 

Luego comparamos numeradores y queda la igualdad entre polinomios:

2 = a(x+2) + b(x-1)

que es válida para a = 2/3. y b = -2/3.

Luego, la integral puede escribirse:

I = (2/3) ∫ ( 1/(x-1) - 1/(x+2) )dx = (2/3)( ln|x-1| - ln|x+2| ) = (2/3)ln| (x-1)/(x+2) | (no consignamos la constante de integración porque estamos tratando con una integral definida).

Luego, evaluamos con Regla de Barrow, entre 2 y a:

I = (2/3)ln| (a-1)/(a+2) | - (2/3)ln| 1/4 | = (2/3)ln| (a-1)/(a+2) | + (2/3)ln(4) 

Luego, tomamos el límite para a tendiendo a +infinito, observa que el argumento del logaritmo en el primer término tiende a cero, y llegamos a:

I = (2/3)ln(4)

Por lo que concluimos que la integral es convergente.

Espero haberte ayudado.

Puedes aplicar la sustitución (cambio de incógnita): cosx = w, observa que w debe tomar valores comprendidos entre -1 y 1 (*), sustituyes y queda la inecuación:

2w² + 5w - 3 > 0, luego observa que la expresión polinómica tiene raíces 1/2 y -3, luego factorizamos y queda:

2(w - 1/2)(w + 3) > 0, luego dividimos por 2 en ambos miembros y queda:

(w - 1/2)(w + 3) > 0, lo que nos conduce a dos opciones:

a) w - 1/2 > 0 y w + 3 > 0, lo que nos conduce a w > 1/2, y con la consideración señalada (*) tenemos: w ∈ (1/2,1]

b) w - 1/2 < 0 y w + 3 < 0, lo que nos conduce a w < -3, y con la consideración señalada (*) tenemos w ∈ ∅

Luego, tenemos finalmente: w ∈ (1/2,1] u ∅ = (1/2,1]

Luego, sustituimos, planteamos la desigualdad para la expresión de w y queda:

1/2 < cosx ≤ 1, luego componemos con la función inversa del coseno y tenemos dos opciones:

1) 0 ≤ x < π/3 ∨ 5π/3 < x ≤ 2π, luego con notación de intervalo; x ∈ [ 0 , π/3 ) u ( 5π/3 , 2π ]

Espero haberte ayudado.

Haces pasaje de término y queda:

6tag23x = 2, haces pasaje de factor como divisor y queda:

tag23x = 1/3 = 3/9, haces pasaje de potencia como raíz y quedan dos opciones:

a) tag3x = +√(3)/3, que nos conduce a dos opciones:

a1) 3x = 30° + 360°*k, divides por 3 en todos los términos y queda:

x = 10° + 120°*k, con k ∈ ℤ

a2) 3x = 210° + 360°*k, divides por 3 en todos los términos y queda:

x = 70° + 120°*k, con k ∈ ℤ

b) tag3x = -√(3)/3, que nos conduce a dos opciones:

b1) 3x = 1500° + 360°*k, divides por 3 en todos los términos y queda:

x = 50° + 120°*k, con k ∈ ℤ

a2) 3x = 330° + 360°*k, divides por 3 en todos los términos y queda:

x = 110° + 120°*k, con k ∈ ℤ

Espero haberte ayudado.

Aplique la regla de la cadena. ;)

Derivada de un cociente=[derivada numerador*denominador - numerador*derivada denominador]/denominador²

f´(x)= [1/x*x-ln(x)]/x²= [1-ln(x)]/x²

Derivada de una multiplicación= derivada primero*segundo + primero*derivada segundo

 f´(x)=2^senx* cos x * Ln2*x³+2^senx*3x² = 2^senx*x²(cos x * Ln2*x+ 3) 

((recuerda que si f(x)= a^u, entonces f´(x)= a^u* Ln a * u´))

completando cuadrados

¿Cómo se aplicaría ese método? Gracias