Debes tener en cuenta las identidades trigonométricas: cos(2x) = cos²x - sen²x (*), también: sen(2x) = 2senxcosx (**), y también: sen²x = 1 - cos²x (***).

Luego, tienes la función cuya expresión es:

f(x) = 2cosx - cos(2x), con x ∈ [-π,π], aplicas  la identidad señalada (*) y queda: f(x) = 2cosx - cos²x + sen²x, aplicas la identidad señalada (***) y queda: f(x) = 2cosx - 2cos²x + 1.

luego, la expresión de la derivada primera queda:

f ' (x) = -2senx + 2sen(2x), aplicas la identidad señalada (**) y queda: f ' (x) = -2senx + 4senxcosx, extraes factor común y queda: f ' (x) = 2senx(-1+2cosx);

luego la expresión de su derivada segunda queda:

f ' ' (x) = -2cosx + 4cos(2x), aplicas la identidad señalada (*) y queda: f ' ' (x) = -2cosx + 4cos²x - 4sen²x,

luego aplicas la identidad señalada (***) y queda: f ' ' (x) = -2cosx + 8cos²x - 4.

Luego pasamos al estudio de la gráfica de la función:

1) Intersecciones con el eje OX:

f(x) = 0, sustituyes y queda la ecuación: 2cosx - 2cos²x + 1 = 0, que se resuelve con el cambio de incógnita: t = cosx (queda para que continúes la tarea).

2) Intersecciones con el eje OY:

f(0) = 2 - 2 + 1 = 1, que corresponde al punto A(0,1).

3) Valores de la función en los extremos del intervalo cerrado:

f(-π) = -2 - 2 + 1 = -3, que corresponde al punto B(-π,-3)

f(π) = 2 - 2 + 1 = 1, que corresponde al punto C(π,1).

4) Puntos críticos o singulares:

f ' (x) = 0, sustituyes y queda la ecuación:  2senx(-1+2cosx) = 0, resuelves y queda: x = -π, x = 0, x = π, x = π/6, x = 5π/6 (queda para que verifiques).

5) Posibles puntos de inflexión:

f ' ' (x) = 0, sustituyes y queda la ecuación: -2cosx + 8cos²x - 4 = 0, que puedes resolver con el cambio de incógnita: t = cosx (queda para que continúes la tarea).

Como verás, debes continuar trabajando, y debes tener en cuenta identidades y métodos de resolución para resolver ecuaciones trigonométricas.

Espero haberte ayudado.

Puedes intentar separar variables:

xy '  - y² = xy², haces pasaje de término y queda:

xy ' = xy² + y², extraes factor común en el segundo miembro, sustituyes y ' = dy/dx, y queda:

xdy/dx = (x+ 1)y², haces pasajes de divisores y factores y queda:

dy/y² = (x + 1)dx/x, distribuyes el denominador en el segundo miembro y queda:

y^-2dy = (1 + 1/x)dx, luego integras miembro a miembro y queda:

- y^-1 = x + ln|x| + C, que es una solución general implícita para esta ecuación diferencial.

Espero haberte ayudado.

Por favor, indica cuál es la relación entre los planos Π₀ y Π₅, porque no se entiende el signo escrito en el enunciado, para que podamos ayudarte.

Los planos son perpendiculares

Entonces, como el plano buscado es perpendicular a dos planos conocidos, puedes plantear que un vector normal al plano Π₀ puede ser el producto vectorial entre los vectores normales a los planos Π₄ y Π₅:

n₀ = n₄ × n₅ = <-1,1,1> × <1,-2,1> = <3,2,1>.

Luego, como tienes que el punto de intersección entre las rectas L2 y L3 pertenece al plano, puedes igualar a partir de sus ecuaciones vectoriales paramétricas:

<-3,-6,8> + t₂<3,-1,3> = <-5,-6,9> + t₃<1,-1,4>, luego haces pasajes de términos, resuelves en el segundo miembro y queda:

t₂<3,-1,3> - t₃<1,-1,4> = <-2,0,1>, luego planteas ecuaciones igualando componente a componente, y queda el sistema:

3t₂ - t₃ = -2

-t₂ + t₃ = 0

3t₂ - 4t₃ = 1

Observa que tienes tres ecuaciones con dos incógnitas, resuelves el sistema (te dejo la tarea) y verás que la solución es: t1 = -1, t2 = -1, luego reemplazas en las ecuaciones vectoriales de las rectas, y verás que el punto de intersección tiene coordenadas: A(-6,-5,5) ∈ Π₀.

Luego, ya tienes todo para plantear una ecuación para el plano buscado.

A(-6,-5,5) ∈ Π₀

n₀ = <3,2,1>

Luego, planteamos la ecuación vectorial del plano buscado:

<3,2,1> • < x+6 , y+5 , z-5 > = 0.

Luego desarrollamos el producto escalar, reducimos términos numéricos, y llegamos a la ecuación cartesiana paramétrica implícita del plano buscado:

3x + 2y + z + 23 = 0.

Espero haberte ayudado.

Me propuse a realizarlo antes de que me respondieras y tengo lo casi todo bien! Gracias!!!

Verifica que A*cada uno de esos vectores da una columna de tres ceros.

Te queda ponerlo

2*sqrt(t)+C

Y donde pone t, poner su valor.

a) Consideras como vector director la vector aplicado en el primer punto, con extremos en el último: u = PQ = <5,1>, luego con este vector y el primer punto P(-2,-1), puedes plantear las ecuaciones cartesianas paramétricas:

x = -2 + 5t

y = -1 + t

con 0 ≤ t ≤ 1

Observa que la longitud del intervalo paramétrico es La = 1-0 = 1.

b) Observa que la longitud del nuevo intervalo paramétrico es Lb = 1-(-1) = 2, que es el doble de la longitud del intervalo anterior, que la trayectoria comienza en el punto P como en el ejercicio anterior, y que el primer valor que toma el parámetro es -1, por lo que planteamos:

0 ≤ t ≤ 1, que es el intervalo del ejercicio anterior, multiplicamos por 2 en los tres miembros de la doble desigualdad y queda:

0 ≤ 2t ≤ 2, restamos 1 en los tres miembros de la doble desigualdad y queda:

-1 ≤ 2t - 1 ≤ 1, luego hacemos una sustitución (cambio de parámetro): u = 2t - 1, de donde despejamos y tenemos: (1/2)u + 1/2 = t,

y cuyo intervalo paramétrico es -1 ≤ u ≤ 1.

Luego sustituimos en la parametrización del ejercicio anterior y queda:

x = -2 + 5(  (1/2)u+ 1/2 ) = -2 + (5/2)u + 5/2 = 1/2 + (5/2)u

y = -1 + (1/2)u + (1/2) = -1/2 + (1/2)u

por lo tanto, la nueva parametrización queda:

x = 1/2 + (5/2)u

y = -1/2 + (1/2)u

con -1<= u <= 1.

c) Para cambiar el sentido de recorrido, una de las formas es proponer la sustitución (cambio de parámetro) w = - t, de donde tenemos: t = -w, y el intervalo paramétrico queda:

0 <= t <= 1, multiplicamos por -1 en los tres miembros de la doble desigualdad (observa que cambia el sentido de las desigualdades):

0 >= -t >= -1, sustituimos, leemos de derecha a izquierda y queda:

-1 <= u <= 0.

Luego sustituimos en la parametrizacióm del primer ejercicio y queda:

x = -2 - 5w

y = -1 - w

con -1 <= w <= 0.

Espero haberte ayudado.

Enunciado completo original, Pablo.

Va una ayuda para la resolución del sistema de ecuaciones.

Observa que tienes tres ecuaciones con cinco incógnitas, por lo que, a lo sumo, podremos despejar tres incógnitas que nos quedarán en funciones de las otras dos.

Tenemos el sistema:

y+z-2w+3u=0, de aquí podemos despejar: y = -z + 2w - 3u (*)

2x+y-w+u=0

x-z+3u=0

luego sustituimos la expresión señalada (*) en las otras dos ecuaciones, reducimos términos semejantes y queda el sistema:

2x + w - 2u = 0, de aquí podemos despejar: w = -2x + 2u (**)

x - z + 3u = 0, de aquí podemos despejar x + 3u = z (***)

luego sustituimos la expresión señalada (***) en la ecuación señalada (*), reducimos términos semejantes  y queda: y = -x + 2w - 6u (****),

luego sustituimos la expresión señalada (**) en la ecuación señalada (****), reducimos términos semejantes y queda: y = -5x -2u (*****).

Luego, concluimos que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones (empleamos las ecuaciones remarcadas):

x ∈ R

y = -5x -2u

z = x + 3u 

w = -2x + 2u

u ∈ R.

Espero haberte ayudado.

Revisa el enunciado, Alba. Falla algo.

Tu resultado es correcto (un área orientada). Se suele poner valor absoluto a la integral para obtener áreas positivas.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas. 
Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)