Observa que tienes como información el valor de la función derivada de la función f para x = 2, que según la definición es:

Lím(x-->2) ( f(x) - f(2) / ( x - 2) = 3 (*).

Luego puedes operar en la expresión que te piden evaluar:

( f(x) - f(2) / ( V(x) - V(2) ) = multiplicamos al numerador y al denominador por el "conjugado" del denominador =

= ( f(x) - f(2) )* ( V(x) + V(2) ) / ( (V(x) - V(2)*(V(x) + V(2) ) = distribuimos y resolvemos el producto en el denominador (observa que nos queda una diferencia de cuadrados) =

= ( f(x) - f(2) )* ( V(x) + V(2) ) / (x - 2) = agrupamos factor y divisor =

=  ( f(x) - f(2) )/(x - 2) * ( V(x) + V(2) ).

Luego tomamos el límite para x tendiendo a 2 y queda:

Lím(x-->2) ( f(x) - f(2) )/(x - 2) * ( V(x) + V(2) ) = aplicamos la propiedad del límite de un producto de funciones:

= Lím(x-->2) ( f(x) - f(2) )/(x - 2) * Lím(x-->2) (V(x) + V(2)) = reemplazamos el primer factor según la igualdad señalada (*) y resolvemos el segundo factor:

= 3 * (V(2) + V(2)) = 3*2V(2) = 6V(2) (observa que el resultado es finito).

Espero haberte ayudado.

Te va la ayuda Raisa, si aplicas propiedades de logaritmos te quedaría más bonita la expresión:

Observa que puedes plantear para el ángulo de 60°:

tan60° = h ' / 3 (en el triángulo rectángulo superior más pequeño),

luego, reemplazas el valor de la tangente de 60° y queda:

V(3) = h ' / 3, haces pasaje de divisor como factor y queda:

3V(3) = h '

luego, como sabes que h ' = h/3, reemplazas y queda:

3V(3) = h/3, haces pasaje de divisor como factor, resuelves y queda:

9V(3) = h (*).

Luego, en el triángulo rectángulo inferior  puedes plantear:

sen30° = h / |ab|, reemplazas el valor del seno de 30° y queda:

1/2 = h / |ab|, haces pasaje de divisores como factores y queda:

1*|ab|  = 2*h, resuelves a la izquierda, reemplazas el valor de h señalado (*) y queda:

|ab| = 2*9V(3), resuelves factores enteros y llegas a:

|ab| = 18V(3).

Espero haberte ayudado.

Va la ayuda ( escribimos raíz cúbica como (3V) ): el binomio cúbico s^3 - 9 = ( s - (3V)(9) )*( s^2 + (3V)(9)*s + (3V)(9^2) ).

Recuerda que la diferencia de cubos se factorea: s^3 - a^3 = (s - a)*( s^2 + a*s + a^2 ).

Luego, observa que puedes descomponer en sumas parciales:

1/( s^2 * (s^3 - 9) ) = a / s + b / s^2 + c / ( s - (3V)(9) ) + (d*s + e) / ( s^2 + (3V)(9)*s + (3V)(9^2) ).

Y luego puedes continuar, con un trabajo bastante largo.

Espero haberte ayudado.

Una pregunta... al final no se podría escribir tambien...as+b/s2+ c / ( s - (3V)(9) ) + (d*s + e) / ( s^2 + (3V)(9)*s + (3V)(9^2) ). ¿Sería lo mismo?

Va el primero

Va la segunda demostración:

Muchas gracias!

Y el tercero:

el sistema resulta incompatible 

Debes corregir algunas partes de tu planteo. Van algunas orientaciones.

Observa que el área de cada rectángulo de la partición tiene la forma (indicamos delta como D): Ai = Dx*F(xi) = (1/2)*(3*i^2 + 3).

Observa también que para la suma superior, la sumatoria de las áreas de los rectángulos de la partición es entre i=1 e i=6 (si hubiese sido la suma inferior, sería entre i=0 e i=5).

Observa que la longitud de la base en cada intervalo es Dx = 1/2.

Observa que la altura en cada intervalo está determinada por el valor de la función en el extremos derecho del intervalo: hi = F(i),  con i entre 1 y 6.

Espero haberte ayudado.

Va Daniela

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