No entiendo lo que necesitas, lo siento... Pero permanece atento las dos próximas semanas. Tendrás toda la teoria y ejercicios resueltos en todos los temas y lecciones... Abrazos!
P

Observa que la integral se resuelve en dos pasos, aplicando el método de las partes:
u = x^2, de donde tenemos: du = 2x*dx
dv = e^(-2x), de donde tenemos: v = -(1/2)e^(-2x)
aplicamos el método y la integral (por el momento indefinida), operamos y queda:
I = -(1/2) * x^2 * e^(-2x) + Integral x * e^(-2x) * dx
observa que la integral secundaria también se puede resolver por partes:
u = x, de donde tenemos: du = dx
dv = e^(-2x) * dx, de donde tnemos: v = -(1/2)e^(-2x)
aplicamos el método, operamos y queda:
I = -(1/2) * x^2 * e^(-2x) -(1/2)x * e^(-2x) + (1/2)*Integral e^(-2x) * dx
observa que la última integral ya es directa (y que la hemos empleado en los planteos que hemos hecho), resolvemos y queda:
I = -(1/2) * x^2 * e^(-2x) -(1/2)x * e^(-2x) - (1/4)*e^(-2x), ahora si definida para evaluar entre 0 y1, lo hacemos y queda:
I = - (1/2)*e^(-2) - (1/2)* e^(-2) - (1/4)*e^(-2) - (0 -0 - 1/4) = - (5/4)*e^(-2) + 1/4 =
= - 5/(4e^2) + 1/4 = ahora tomamos denominador común y queda:
= (-5 + e^2)/(4*e^2) =
= (e^2 - 5)/(4*e^2),
por lo que la igualdad resulta ser verdadera.
Espero haberte ayudado.

Observa el argumento de la raíz cuadrada:
9 + e^2x = 9 + (e^x)^2
luego, planteamos la sustitución:
u = e^x, de donde teneos: du = e^x * dx, luego: du = udx y finalmente: du/u = dx
el argumento de la raíz cuadrada queda:
9 + u^2
luego, al aplicar la sustitución la integral queda:
I = Integral (1/(uV(9 + u^2)))*du/u = Integral (1/(u^2 * V(9 + u^2)))*du
luego, podemos plantear la sustitución hiperbólica:
u = 3senht, de donde tenemos: du = 3cosht*dt,
el argumento de la raíz cuadrada queda: 9 + u^2 = 9 + (3senht)^2 = 9 + 9(senht)^2 = 9(1 + (senht)^2) = 9(cosht)^2, luego: V(9 + u^2) = 3cosht
luego, aplicamos esta nueva sustitución en la integral, simplificamos y queda:
I = (1/9)*Integral (1/(senht)^2)dt = (-1/9)*cotgh(t) + C. (**)
Luego, a partir de las sustituciones anteriores tenemos:
argsenh(u/3) = t,
u = e^x,
de donde tenemo para reemplazar:
argsenh((e^x)/3) = t.
y solo resta sustituir en la expresión señalada (**).
Espero haberte ayudado.

Gabriel, te mando la justificación (basada en el Teorema de Rouché).
Te recomiendo:
http://es.slideshare.net/blablalba/algebra-lineal-y-algunas-de-sus-aplicaciones-golovina
Es el más claro y asequible, desde mi punto de vista.

Gracias profesor en verdad muchisimas gracias

Observa que x expresa el desplazamiento horizontal, e y expresa el desplazamiento vertical (o altura), por lo tanto, para plantear altura máxima o mínima enemos:
y ' = 0, que corresponde a la ecuación:
2sent = 0, despejamos y queda:
sent = 0
que nos conduce a cuatro valores de t pertenecientes al intervalo:
t1 = 0, sustituimose las expresiones del enunciado y quedan: x = 0, y =0
t2 = pi, sustituimos en dichas expresiones y quedan: x = pi, y = 4
t3 = 2pi, sustituimos en dichas expresiones y quedan: x = 2pi, y = 0
t4 = 3pi, sustituimos en dichas expresiones y quedan: x = 3pi, y = 4
Por lo tanto, tenemos que los puntos:
(0,0) y (2pi,0) son los puntos de altura mínima,
(pi, 4) y (3pi,4) son los puntos de altura máxima.
Espero haberte ayudado.

1)
Observa que tienes una población de 11 elementos, de los cuáles debes seleccionar 5, sin repetir (los invitados son distintos) y sin orden (si invitas a dos, no interesa en qué orden lo haces), por lo tanto tenemos
N = C(11,5) = 11! / (5! * 6!)
2)
Observa que tienes una partición:
a) el matrimonio es invitado (ya ocupaste dos lugares, quedan tres lugares para ocupar por nueve candidatos):
Na = C(9,3) = 9! / (3! * 6!)
b) el matrimonio no es invitado (tienes nueve candidatos para ocupar cinco lugares):
Nb = C(9,5) = 9! / (5! * 4!)
Por la tanto, la cantidad total será:
N = Na + Nb.
3)
Llamemos A y B a las personas enemistadas, y de nuevo tienes una partición:
a) A concurre y B no concurre (te quedan cuatro lugares para ocupar con nueve candidatos):
Na = C(9,4) = 9! / (4!*5!)
b) A no concurre y B si concurre (te quedan cuatro lugares para ocupar con nueve candidatos):
Nb = C(9,4) = 9! / (4!*5!)
c) A no concurre y B no concurre (tienes cinco lugares para ocupar con nueve candidatos):
Nc = C(9,5) = 9! / (5!*4!)
Por lo tanto la cantidad total será
N = Na + Nb + Nc.
Espero haberte ayudado.

Por favor, corrobora si la ecuación está correctamente escrita.

Sí... LLevo como 20 min con la ecuación y no le veo manera de sacar ese Log x para que no vaya a exponente. Está bien escrita

Sería útil que enviaras fotografías, no dudo que esté consignada así, pero consulta a tus docentes. Es muy probable que haya error en el enunciado.

Observa en la consigna: "x - y es par", entonces tenemos dos opciones:
1) x es par e y es par,
2) x es impar e y es impar,
luego formamos los pares, con primera componente perteneciente al conjunto K, y con segunda componente perteneciente al conjunto M:
la primera opción nos conduce a los pares: (10,2), (10,4), (8,2), (8,4)
la segunda opción nos conduce a un único par: (9,3)
Luego, podemos visualizar:
a) Codominio: el segundo conjunto nombrado al definir la relación, en este caso: M = {2,3,4}
Imágen: conjunto cuyos elementos son las segundas componentes de los pares de la relación, en este caso: {2,3,4] = M
b) Conjunto solución: conjunto cuyos elementos son los pares de la relación: { (10,2), (10,4), (8,2), (8,4), (9,3) }
c) Dominio de la relación: conjunto cuyos elementos son las primeras componentes de los pares de la relación, en este caso: {10, 9, 8} = K.
Espero haberte ayudado.

Te ayudamos dAy

De otra forma:

si mis cálculos no están mal el resultado de Peter esta equivocado, corrobora

Pero si os ha dado el mismo resultado jajaj, muchas gracias:)

Solución de mi amigo Antonio Benito: