La mediatriz que existe entre P y Q pasa por el centro de la circunferencia y corta con la recta x+2y=0 saludos Adrian :)

Puedes plantear la ecuación cartesiana canónica de la circunferencia con centro en el punto C(a,b) y radio R:
(x- a)^2 + (y - b)^2 = R^2
Luego, a partir del enunciado:
"el centro está en la recta de ecuación: x + 2y = 0", entonces puedes plantear:
a + 2b = 0
"la circunferencia pasa por el punto P(4,3)", entonces puedes plantear:
(4 - a)^2 + (3 - b)^2 = R^2
"la circunferencia pasa por el punto Q(0,1)", entonces puedes plantear:
(0 - a)^2 + (1 - b)^2 = R^2.
Y todo se resume en resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
a + 2b = 0 podemos despejar: a = - 2b (*)
(4 - a)^2 + (3 - b)^2 = R^2
(0 - a)^2 + (1 - b)^2 = R^2
reemplazamos en las dos últimas ecuaciones y queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
(4 +2b)^2 + (3 - b)^2 = R^2
(2b)^2 + (1 - b)^2 = R^2 (**)
podemos igualar ambas ecuaciones y queda:
(4 +2b)^2 + (3 - b)^2 = (2b)^2 + (1 - b)^2
desarrollamos los binomios al cuadrado y queda:
16 +16b + 4 * b^2 + 9 - 6b + b^2 = 4 * b^2 + 1 - 2b + b^2
hacemos pasajes de términos, reducimos términos semejantes y queda:
12b + 24 = 0
despejamos y queda:
b = -2
reemplazamos en la ecuación señalada (**) y queda:
R^2 = (-4)^2 + (-3)^2
resolvemos:
R^2 = 16 + 9 = 25
R = V(25)
R = 5
reemplazamos en la ecuación señalada (*) y queda:
a = 4
Por lo tanto, la circunferencia tiene centro en el punto (4,-2), su radio es R = 5, y su ecuación cartesiana canónica es:
(x + 4)^2 + ( y + 2)^2 = 25.
Espero haberte ayudado.

(1 + 4x)^(1/x²)=(1 + 4x)^[(1/4x)(4x)(1/x²)]=[(1 + 4x)^(1/4x)]^(4/x)
Ya con eso lo puede resolver, cierto? Te adelantare que el limite no existe, tendrás que hallar los limites laterales...

No se si te servira d emucha ayuda pero yo le he resuelto asi:

Tiene un error tu procedimiento Adrián :C

Tienes razón fallo mio

Las ecuaciones de las gráficas de las funciones son:
y = V(x) (observa que esta expresión impone que x>= 0)
y = 3x
luego igualamos:
3x = V(x)
luego elevamos al cuadrado en ambos miembros:
(3x)^2 = (V(x))^2
luego resolvemos:
9 * x^2 = |x| (observa que al simplificar una raíz cuadrada con su potencia inversa nos queda valor absoluto)
luego, se plantean dos opciones, de acuerdo con la definición de valor absoluto:
a) si x >= 0 tenemos: 9 * x^2 = x, luego 9 * x^2 - x = 0, resolvemos y quedan: x1 = 0, x2 = 1/9.
b) si x < 0 tenemos: 9 * x^2 = - x, luego 9 * x^2 + x = 0, resolvemos y quedan: x1 = 0, x3 = -1/9, que no consideramos porque no son menores que cero.
Por lo tanto, son:
para x1 = 0 tenemos y = 3*0 = 0, y obtenemos el punto A(0,0) (verificamos con la otra expresión: y = V(0) = 0)
para x2 = 1/9 tenemos y = 3*1/9 = 1/3, y obtenemos el punto B(1/9,1/3) (verificamos con la otra expresión: y = V(1/9) = 1/3)
Por lo tanto, los puntos designados A y B son los puntos de intersección entre las dos gráficas de las funciones.
Espero haberte ayudado.

Muchas gracias, te iba a preguntar como te habia dado 0 y 1/9 y despues me di cuenta que yo no habia multiplicado el 3 al cuadrado, por eso cuando hacia bascara me daba 1/3 y no 1/9.

Cristian, te lo envío hecho de forma rápida y sencilla.
para hallar los puntos de corte de dos funciones basta igualarlas y ver para qué valores se cumple dicha igualdad. Pues bien:
f(x)=√x
g(x)=3x
f(x)=g(x)→√x=3x→x=9x²→9x²-x=0→x(9x-1)=0 Tenemos dos soluciones:
a) x=0; 9x-1=0→x=1/9
Personalmente pienso, que para un nivel de 3º ó 4º de la ESO, que es el del ejercicio sobra con lo que expongo.
Es obvio que la explicación del amigo Antonio Silvio es impecable, pero cuesta muchos más trabajo entenderla desde mi punto de vista para el nivel que comento, e incluyo para niveles superiores. Yo soy Ingeniero Técnico desde los años 90 y para un ejercicio de este tipo jamás se me dio explicación tan ortodoxa y ampliada. Un Saludo a los dos.

Te ayudamos, Anthony:

Comencemos por denominar:
x: "suma invertida al 2% anual", luego la ganancia obtenida con esta inversión es: (2/100)*x = 0,02*x
y: "suma invertida al 4% anual", luego la ganancia obtenida con esta inversión es: (4/100)*y = 0,04*y
Luego, a partir del enunciado:
x + y = 30000 (la suma invertida total es $ 30000)
0,02*x + 0,04*y = 1000 (la ganancia total es $ 1000).
Luego, solamente te queda resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Espero haberte ayudado.

podrias pasarme la resolución de las ecuaciones también? sigo sin poder hacerlo. Gracias

A ver Ana: El sistema es:
x+y=30000
0.02x+0.04y=1000, Se puede poner como:
x+y=30000→x=30000-y Sustituyendo abajo tenemos:
2x+4y=100000→2(30000-y+4y=100000→60000-2y+4y=100000→2y=100000-60000→y=40000/2=20000 $
X=30000-y=30000-20000=10000 $
Va hecho paso a paso. Un Saludo.

Si, es correcto como lo has pensado.
Observa que y ' = senh(x/20)
luego:
1 + (y ')^2 = 1 + (senh(x/20))^2 = (cosh(x/20))^2 (por identidad trigonométrica), y luego: V(1 + (y ')^2) = V((cosh(x/20))^2) = cosh(x/20).
De ahí en más, la longitud del cable queda:
L = Integral (cosh(x/20))*dx = [20 * senh(x/20)] = (ahora evaluamos entre -20 y 20) = 20*senh(1) - 20*senh(-1).
Espero haberte ayudado.

Una corrección al escrito anterior, en la cuarta línea entre paréntesis debe decir "por identidad hiperbólica".

Una corrección al escrito anterior, en la cuarta línea entre paréntesis debe decir "por identidad hiperbólica".

Si los dos espacios vectoriales son de dimensión finita, una vez fijadas las dos bases (del espacio original y del espacio imagen), la transformación lineal está unívocamente determinada por una matriz cuyos elementos son del cuerpo de escalares del espacio imagen.

Vamos con la continuidad en (0,0):
1°) f(0,0) = 0
2°) Lím((x,y)-->(0,0)) (xy / (x^2 + y^2)) = (por el momento el límite es indeterminado)
exploramos con caminos rectos que pasan por el punto de estudio: y = mx, sustituimos y queda:
Lím (x-->0) xmx / (x^2 + m^2 * x^2) = Lím (x-->0) (m * x^2) / (x^2 * (1 + m^2) = m / (1 + m^2) (observa que hemos simplificado), por lo tanto el límite no existe.
3°) La función es discontinua esencial (o inevitable) en el punto de estudio.
Para las derivadas parciales:
fx(0,0) = Lím(h-->0) (f(0 + h,0) - f(0,0)) / h = Lím(h-->0) (f(h,0) - f(0,0)) / h = Lím(h-->0) (0 - 0)/h = 0
observa que:
f(h,0) = h0 / (h^2 + 0^2) = 0 /h^2 = 0, y f(0,0) =0
fx(0,0) = Lím(h-->0) (f(0 + h,0) - f(0,0)) / h = Lím(h-->0) (f(h,0) - f(0,0)) / h = Lím(h-->0) (0 - 0)/h = 0
luego:
fy(0,0) = Lím(h-->0) (f(0,0+h) - f(0,0)) / h = Lím(h-->0) (f(0,h) - f(0,0)) / h = Lím(h-->0) (0 - 0)/h = 0
observa que:
f(0,h) = 0h / (0^2 + h^2) = 0 /h^2 = 0, y f(0,0) =0.
Por lo tanto, las dos derivadas parciales en el punto (0,0) existen y valen 0.
Debes tener muy en cuenta que en casos como éste, donde te piden investigar continuidad o existencia de derivadas, y justo se trata de un punto singular que está definido aparte en la expresión de la función, todos los pasos a realizar debes hacerlos por medio de las definiciones, en este ejercicio de continuidad y de derivadas parciales.
Espero haberte ayudado.

Muchisimas gracias!!! Muy claro!!

Mirate:
http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf
http://mate.cucei.udg.mx/matdis/2ind/2ind4.htm

En la primera parte ya has demostrado que:
dim(S1) = 2, y que su base B1 es un conjunto de dos vectores linealmente independientes,
dim(S2) = 2, y que su base B2 es un conjunto de dos vectores linealmente independientes.
Ahora planteemos el conjunto unión de las dos bases:
B = B1 u B2
observa que es un conjunto de cuatro elementos, todos pertenecientes al espacio vectorial M2(R).
Solo debes demostrar que los cuatro vectores que son elementos de B son linealmente independientes,
luego, B es base del espacio vectorial, ya que la dimensión del mismo es cuatro.
Espero haberte ayudado.