Fíjate que en ambos casos el numerador es muy parecido a la derivada del denominador (con algún factor constante para hacerlo ).
Entonces es una sustitución u= denominador, du/dx = derivada .... La integral de du/u es el logaritmo neperiano de u. ..... Ánimo atrévete a hacer los pasos concretos!

Te ayudamos Maria:

Ahora chulea la integral por fracciones parciales Maria :-)

Si la primera era muy sencilla, pero la segunda luego me queda una integral que no me sale

Termina el ejercicio Maria :-) pregunta si te atoras

Muchas gracias por su tiempo y su ayuda!! Me habia trabado porque no sabia que en el numerador de la fraccion iba (cu+d)

Un gusto María :-) estamos para ayudaros

Recuerda que: sin²(5x)=1-cos²(5x). Entonces:
sin²(5x)+cos(5x)+11=0→1-cos²(5x)+cos(5x)+11=0→cos²(5x)-cos(5x)-12=0
Ahora solo queda resolver la ecuacion cuadrática para cos(5x):
cos(5x)={1±√[(-1)²-4(1)(-12)]}/[2(1)]
Ya con eso puedes seguir supongo...

el problema esque me da 4 y -3 ,no habria soluciones validas no?

Da esos valores, entonces tienes que:
cos(5x)=4
cos(5x)=-3
Y como bien dices, no hay soluciones en los reales pues -1≤cos(5x)≤1

Va la ayuda, Toby:

Va, Nahuel:

Déjanos un ejercicio Sebastian e intentaremos ayudarte :-)

Pregunta concreta, por favor.

Mírate:
Funciones

Debes tomar en cuenta las dimensiones de los espacios vectoriales, y la relación entre ellas:
Sea la transformación lineal T: V ---> W, entonces dim(N) + dim(I) = dim(V)
con:
V: dominio de la transformación
W: codominio de la transformación
N: núcleo de la transformación (observa que N es subespacio de V, por lo tanto dim(N)

Tremenda explicación! estoy muy agradecido, gracias!

quieres decir en coordenadas polares en terminos de razones trigonometricas?

Puedes comenzar por llevar la expresión a su forma canónica, por medio del método de completar binomios elevados al cuadrado.
Ordenamos términos y hacemos pasaje de uno de ellos y queda:
x^2 + 4x + y^2 + 6y = 23
luego sumamos en ambos miembros términos numéricos (iguales a los cuadrados de los coeficientes de x e y en los términos lineales):
x^2 + 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 23 + 4 + 9
luego, expresamos los trinomios como binomios elevados al cuadrado, resolvemos a la derecha y queda:
(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 36
que es la ecuación canónica de una circunferencia con centro en el punto C(-2,-3), y radio R = V(36) = 6.
Luego, la forma más práctica para parametrizar circunferencias es por medio de funciones trigonométricas:
x +2 = 6*cost
y + 3 = 6*sent
con el intervalo paramétrico: 0

Pura vida Antonio muchas gracias.

El resultado, efectivamente, no es 0,73. Debes consultar si se trata de un error de impresión o copiado. Y ten en cuenta que siempre se expresan en radianes los argumentos de las funciones trigonométricas.
Espero haberte ayudado.

Te mandamos el desarrollo Cristian:

Antonio, el desarrollo es como el mio, pero veo que los resultados no me dan, yo prmero hago la integral como si no fuera una integral definida,= hago la integral (I) y le sumo la otra integral (J) luego entonces se forma la integral final (bien larga)que seria el resultado, y hago la resta usando pi/2 (b) menos la misma integral usando como valor el cero (a),, pero veo que vos reemplazaste en "I" un valor y en "J" otro valor.
Si me decis que valores usaste para reemplazar en cada integral ( i y J) me solucionas el tema. ademas de aclararme por que no resolviste la integral completa como yo y luego remplazaste los valores, gracias

En el ejercicio b):
Primero observa que el numerador tiende a cero, y que el denominador también tiende a cero, por lo que el límite es indeterminado.
Luego puedes investigar siguiendo caminos que pasen por el punto de estudio (0,0)
Camino1: y = 0 (eje de abscisas) Lím (x -->0) x^2 / x^2 = 1
Camino2: x = 0 (eje de ordenadas) Lím (y -->0) 0 /y^2 = 0
y como puedes apreciar, los caminos nos han conducido a resultados distintos, por lo que concluimos que el límite no existe.
Espero haberte ayudado.