A partir de las identidades trigonométricas:
sin^2(ax)=1-cos^2(ax)→C'=C+(1/2a)
cos(2ax)=2cos^2(ax)-1→K=C'-(1/4a)

Va la siguiente Sandy

Tienes que saber operar con potencias de misma base. También ten en cuenta que cuando una potencia tiene exponente negativo, se pone en el denominador con el signo cambiado. Y por último, cuando divides dos potencias de misma base, restas los exponentes. Si te queda el exponente negativo, ponlo en el denominador. Espero que te haya ayudado

Para el 6 se trata de derivar y sustituir luego t por 9...
En cuanto al 5, se trata de un ejercicio de razon de cambio (mexclado con un poco de economia). Siento no poder ayudarte en ese caso, espero lo entiendas...

Edgar te falta poner una igualdad

Una vez hallada la segunda derivada, igualas a cero la función y resuelves la ecuación :-)

Y=(x-4)^4*(x+3)^3
Y'=[4(x-4)^3][3(x+3)^2]
Y"=[12(x-4)^2][6(x+3)]

[12(x-4)^2][6(x+3)]=0
x≠4 y x≠-3

Siendo los puntos 4 y -3 los pts q sastifacen y"=0.

Al igualar la 2da derivada a 0 se encuentran los puntos de inflección en una f(x).

Espero q te haya sido de ayuda.

Luego de realizar la primera derivada tiene q igualarla a 0 para encontrar los pts críticos.
y'=12x^2-24x+8

12x^2-24x+8=0
4(3x^2-6x+2)=0
Yo lo resolví por cuadrática y me da aproximadamente 1,6 y 0,4, esos serian los puntos críticos, luego los puntos críticos los remplaza en la ecuación inicial 4x^3 - 12x^2 + 8x, para encontrar los valores máximos y mínimos.
Para saber si es un máximo o mínimo tendrá q hacer la 2da derivada y remplazar lo puntos críticos (1,6 y 0,4) si el valor es positivo es un mínimo y, si es negativo es un máximo.
Espero haber ayudado.

Disculpa que no me exprese bien, la ecuacion que puse al final es la derivada de la original, de ahí el problema para saber los puntos criticos, sabes com lo puedo resolver?

y'=4x^3 - 12x^2 + 8x

Por factor común:
4x(x^2-3x+2); Luego factoriza.
4x(x-1)(x-2)=0; E igual a 0.
x≠0, x≠1 y x≠2; Siendo estos sus puntos críticos.
y hace el mismo procedimiento que mencione antes, los pts críticos los remplaza en la función inicial, supongo q es esta ''x^4-4x^3+4x^2+c'' para así encontrar en que coordenada están los máximos y mínimos.
Para saber si es un máximo o mínimo tendrá q hacer la 2da derivada y remplazar lo puntos críticos(1 y 2) si el valor es positivo es un mínimo y, si es negativo es un máximo.

Adjunto imagen de como calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, también de hay puede hallar si es un máximo o mínimo.

Muchas gracias Rafael, viendo lo que me escribiste y con algunos videos ya queda mucho mas claro el tema, tengo otra consulta que es como igualo a cero estas derivadas, la verdad no encuentro por ningun lado com hacerlo: -2/(x-2)^2 y la otra es 2x/(x^2 + 1)^2 si me pueden ayudar la verdad les agradeceria mucho.

Que alguien me corrija, pero al ser "a"una constante la derivada es cero. En la segunda consulta no sabria que decirte.

Si esto acabo de estar viendo y si actuaria como constante, gracias.
Y solo en la segunda es que no se que hizo

y=(x^2+a^2)^5 ; y’=5(x^2+a^2)^4*(2x)
Como dijo Cristian la ''a'' es una costante y su derivada es 0.

Y la X q paso a Xsubcero, depronto sea un error, pues la Xsubcero y Ysubcero fueron remplazadas por el punto o coordenada q le dieron y, ''m'' fue remplazada por la 1mer derivada(pendiente).

Con esta función no puedes obtener una primitiva que se exprese como combinación de funciones elementales (esta integral no la vas a encontrar de la forma de la ompbinaion de un polinomio, función tirgonométrica, exponencial, logaritmo y trigonoétricas inversas)

n! =n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*2*1
(n+1)! =(n+1)*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1