Planteas la expresión del módulo de la fuerza eléctrica que se ejercen los cuerpos entre sí (observa que los cuerpos se repelen), y queda:

F_e = k*Q*Q/r² = k*Q²/r² (1).

Planteas la expresión del módulo de la fuerza gravitatoria que se ejercen los cuerpos entre sí (observa que los cuerpos se atraen), y queda:

F_g = G*M*M/r² = G*M²/r² (2).

Luego, planteas la condición de equilibrio, y queda:

F_e = F_g, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

k*Q²/r² = G*M²/r², multiplicas por r² en ambos miembros, y queda:

k*Q² = G*M², divides por k en ambos miembros, y queda:

Q² = G*M²/k, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y queda:

Q = ±√(G*M²/k), extraes el factor cuadrático, y queda:

Q = ±√(G/k)*M,

que es la expresión de la carga de los cuerpos en función de la masa de los mismos, de la constante de gravitación universal, y de la constante de Coulomb;

luego, tienes dos opciones:

1°)

los dos cuerpos tienen la misma carga positiva: Q = +√(G/k)*M;

2°)

los dos cuerpos tienen la misma carga negativa: Q = -√(G/k)*M.

Espero haberte ayudado.

13)

Considera los datos iniciales:

t_i = 0 (instante inicial);

f_i = 180 rev/min (frecuencia de giro inicial), y de aquí tienes: ω_i = 180*2π/60 = 6π rad/s (rapidez angular inicial).

Considera los datos finales:

t_f = 20 s (instante final);

ω_f = 0 rad/s (rapidez angular final).

Luego, planteas la expresión de la aceleración angular de Movimiento Circular Uniformemente Variado, y queda:

α = (ω_f - ω_i)/(t_f - t_i) = (0 - 6π)/(20 - 0) = -3π/10 rad/s² ≅ -0,942 rad/s².

Luego, con el valor del radio del volante: R = 50 cm = 0,5 m, y el valor de la aceleración angular, planteas la expresión de la aceleración tangencial, y queda:

a_T = R*α = 0,5*(-3π/10) = -3π/20 m/s² ≅ -0,471 m/s².

Luego, planteas la expresión de la función ángulo girado de Movimiento Circular Uniformemente Variado (observa que consideramos que la posición angular inicial es: θ_i = 0), y queda:

θ = ω_i*t + (1/2)*α*t², reemplazas valores, resuelves coeficientes, y queda:

θ = 6π*t - (3π/20)*t², evalúas para el instante final (t = 20 s), y queda:

θ = 6π*20 - (3π/20)*20² = 120π - 60π = 60π rad, expresas al ángulo girado en vueltas, y queda:

θ = 60π/(2π) = 30 vueltas.

Espero haberte ayudado.

14)

Tienes los datos iniciales:

t_i = 0 (instante inicial),

ω_i = 10 rad/s (velocidad angular inicial).

Tienes los datos finales:

t_f = 5 s (instante final),

ω_f = 20 rad/s (velocidad angular final).

Luego, planteas la expresión de la aceleración angular de Movimiento Circular Uniformemente Variado, y queda:

α = (ω_f - ω_i)/(t_f - t_i) = (20 - 10)/(5 - 0) = 10/5 = 2 rad/s².

Luego, planteas la expresión del ángulo girado (observa que consideramos que la posición angular inicial es: θ_i = 0), y queda:

θ = ω_i*t + (1/2)*α*t², reemplazas valores, resuelves coeficientes, y queda:

θ = 10*t + 1*t², evalúas para el instante final, y queda:

θ = 10*5 + 1*5² = 50 + 25 = 75 rad, expresas al ángulo girado en vueltas, y queda:

θ = 75/(2π) ≅ 11,937 vueltas.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en el punto más bajo que alcanza la bolilla, con eje de posiciones OY vertical con sentido positivo hacia arriba.

Luego, planteas la expresión de la energía mecánica inicial de la bolilla (observa que parte desde el reposo, desde una altura igual a la longitud del hilo del péndulo), y queda:

EM_i = EP_i + EC_i = M*g*L + (1/2)*M*0² = M*g*L + 0 = M*g*L.

Luego, planteas la expresión de la energía mecánica final de la bolilla (observa que tiene velocidad, y que su altura es igual a cero), y queda:

EM_f = EP_f + EC_f = M*g*0 + (1/2)*M*v_f² = 0 + (1/2)*M*v_f² = (1/2)*M*v_f².

Luego, si se desprecia toda clase de rozamientos, planteas conservación de la energía mecánica, y tienes la ecuación:

EM_f = EM_i, sustituyes expresiones, y queda:

(1/2)*M*v_f² = M*g*L, multiplicas por 2 y divides por M en ambos miembros, y queda:

v_f² = 2*g*L (1). 

Luego, aplicas la Segunda Ley de Newton cuando la bolilla se encuentra en el origen de coordenadas (observa que está recorriendo una trayectoria circular), y queda la ecuación:

T - P = M*a_cp, sumas P en ambos miembros, y queda:

T = P + M*a_cp, sustituyes la expresión del peso de la bolilla, y queda:

T = M*g + M*a_cp, 

sustituyes la expresión del módulo de la aceleración centrípeta en función del módulo de la velocidad tangencial y del radio de la trayectoria circular, y queda:

T = M*g + M*v_f²/L, sustituyes la expresión señalada (1) en el último término, y queda:
T = M*g + M*2*g*L/L, simplificas y ordenas factores en el último término, y queda:
T = M*g + 2*M*g, reduces términos semejantes, y queda:
T = 3*M*g.
Espero haberte ayudado.

Planteas las expresiones de la elongación y de la velocidad de Movimiento Armónico Simple, y queda:

x = A*sen(ω*t+φ),

v = ω*A*cos(ω*t+φ);

luego, divides por A en ambos miembros de la primera ecuación, divides por (ω*A) en ambos miembros de la segunda ecuación, y queda:

x/A = sen(ω*t+φ),

v/(ω*A) = cos(ω*t+φ);

luego, elevas al cuadrado en ambos miembros de ambas ecuaciones, y queda:

x²/A² = sen²(ω*t+φ),

v²/(ω*A)² = cos²(ω*t+φ);

luego, sumas miembro a miembro, aplicas la identidad trigonométrica fundamental (o Pitagórica) en el segundo miembro, y queda la ecucación:

x²/A² + v²/(ω*A)² = 1 (1),

que es la ecuación elongación-velocidad de Movimiento Armónico Simple.

Luego, reemplazas los datos de la primera condición (x = 3 cm, v = 9 cm/s) en la ecuación señalada (1), reemplazas los datos de la segunda condición (x = 6 cm, v = 4 cm/s) en la ecuación señalada (1), y queda el sistema de ecuaciones:

3²/A² + 9²/(ω*A)² = 1,

6²/A² + 4²/(ω*A)² = 1;

multiplicas por x en todos los términos en ambas ecuaciones, simplificas en sus dos primeros términos, resuelves coeficientes, y queda:

9*ω² + 81 = (ω*A)² (1),

36*ω² + 16 = (ω*A)² (2);

restas miembro a miembro la ecuación señalada (1) de la ecuación señalada (2), y queda:

27*ω² - 65 = 0, y de aquí despejas: ω = √(65/27) ≅ 1,552 rad/s;

luego, planteas la expresión del periodo de oscilación en función de la frecuencia angular, y queda:

T = 2π/ω, reemplazas el último valor remarcado, resuelves, y queda: T ≅ 4,050 s.

Por último, reemplazas el valor de la frecuencia angular en la ecuación señalada (1), o en la ecuación señalada (2) si prefieres, y queda:

9*1,552² + 81 ≅ (1,552*A)²,

resuelves el primer miembro, distribuyes la potencia y resuelves el segundo miembro, y queda:

102,678 ≅ 2,409*A², y de aquí despejas: A ≅ √(102,678/2,409) ≅ 6,529 cm.

Espero haberte ayudado.

Vamos por etapas:

1°) 

El vehículo recorre el primer tramo recto (datos iniciales: t_i = 0, x_i = 0, vi = 0, a = a determinar), planteas las expresiones de la posición y de la velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, resuelves coeficientes, cancelas términos nulos, y queda:

x = (1/2)*a*t²,

v = a*t;

reemplazas los datos finales (t = 30 s, x = 500 m), y queda:

500 = (1/2)*a*30²,

v = a*30,

resuelves el sistema de ecuaciones (te dejo la tarea), y su solución es: a = 10/9 m/s², v = 100/3 m/s;

y observa que la velocidad media para este tramo queda: v_m1 = 500/30 = 50/3 m/s.

2°)

El vehículo recorre el primer tramo circular de radio: R = 100 m (observa que su velocidad angular es: ω = v/R = 1/3 rad/s), planteas la ecuación de ángulo girado de Movimiento Circular Uniforme (consideramos que el instante inicial es: t_i = 0, y que la posición angular inicial es: θ_i = 0 para esta etapa), y queda:

θ = ω*t, reemplazas el valor de la velocidad angular y el valor del ángulo girado final (θ = π rad), y queda:

π = (1/3)*t, y de aquí despejas: t = 3π s;

y observa que la velocidad media para este tramo es: v_m2 =100/3 m/s.

3°)

El vehículo recorre el segundo tramo recto (observa que su velocidad es constante: v = 100/3 m/s), planteas la ecuación de posición de Movimiento Rectilíneo Uniforme (consideramos que el instante inicial es: t_i = 0, y que la posición inicial es: x_i = 0 para esta etapa), y queda:

x = v*t, reemplazas el valor de la velocidad y el valor de la posición final (x = 500 m), y queda:

500 = (100/3)*t, y de aquí despejas: t = 15 s;

y observa que la velocidad media para este tramo es: v_m2 =500/15 = 100/3 m/s.

4°)

El vehículo recorre el segundo tramo circular de radio: R = 100 m (observa que su velocidad angular es: ω = v/R = 1/3 rad/s), planteas la ecuación de ángulo girado de Movimiento Circular Uniforme (consideramos que el instante inicial es: t_i = 0, y que la posición angular inicial es: θ_i = 0 para esta etapa), y queda:

θ = ω*t, reemplazas el valor de la velocidad angular y el valor del ángulo girado final (θ = π rad), y queda:

π = (1/3)*t, y de aquí despejas: t = 3π s;

y observa que la velocidad media para este tramo es: v_m2 =100/3 m/s.

a)

Sumas los valores de los tiempos empleados de las cuatro etapas, y queda:

Δt = 30 + 3π + 15 + 3π = (45 + 6π) s ≅ 63,850 s.

b)

Planteas la expresión de la distancia total recorrida, y queda:

ΔL = 500 + π*100 + 500 + π*100 = (1000 + 200π) m ≅ 1628,319 m.

Luego, planteas la expresión de la rapidez media total, y queda:

v_m = ΔL/Δt = (1000 + 200π)/(45 + 6π) m/s ≅ 25,502 m/s.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que llamamos rapidez (v) al módulo de la velocidad (V).

Tienes para a velocidad media en el primer tramo:

V_m1 = (70-50)/(30-20) = 20/10 = 2 m/s, por lo que tienes que la rapidez media es: v₁ = 2 m/s.

Tienes para la velocidad media en el primer tramo:

V_m2 = (10-70)/(50-30) = -60/20 = -3 m/s, por lo que tienes que la rapidez media es: v₂ = 3 m/s,

y el sentido de la velocidad en este tramo es opuesto al sentido de la velocidad en el tramo anterior.

Luego, observa que el intervalo de tiempo del primer tramo es: Δt₁ = 30-20 = 10 s,

y observa que el intervalo de tiempo en el segundo tramo es: Δt₂ = 50-30 = 20 s.

Luego, planteas la expresión de la rapidez media total, y queda:

v_m = (v_m1*Δt₁ + v_m2*Δt₂)/(Δt₁+Δt₂), reemplazas valores, y queda:

v_m = (2*10 + 3*20)/(10+20) = (20+60)/30 = 80/30 = 8/3 m/s ≅ 2,666... m/s ≅ 2,7 m/s.

Espero haberte ayudado.

Mil gracias 

Observa que sobre la caja actúan cinco fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos (consideramos un sistema de referencia con eje OX paralelo al suelo con sentido positivo acorde al sentido de la fuerza F2, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba):

Peso: P = M*g = 50*9,8 = 490 N, vertical, hacia abajo;

Acción normal del suelo: N, vertical, hacia arriba;

Fuerza aplicada: F₁ = 100 N, inclinada 40° con el semieje OX positivo;

Fuerza aplicada: F₂ = 40 N, horizontal, con el sentido del semieje OX positivo;

Rozamiento: fr = μ*N, horizontal, con el sentido del semieje OX negativo.

Luego, si consideras que la caja está en reposo, aplicas la Primera Ley de Newton, y queda el sistema de ecuaciones:

F₁*cos(40°) + F₂ - fr_e = 0,

F₁*sen(40°) + N - P = 0;

sustituyes las expresiones de los módulos de las fuerzas, y queda:

100*cos(40°) + 40 - 0,20*N = 0,

40*sen(40°) + N - 490 = 0, de aquí despejas: N = 490 -40*sen(40°) ≅ 464,288 N,

reemplazas este último valor en la primera ecuación, resuelves, y queda: 23,747 ≅ 0,

y como tienes una identidad aproximada absurda, puedes concluir que la caja no se encuentra en reposo.

Luego, si consideras que la caja se desplaza, aplicas la Segunda Ley de Newton, y queda el sistema de ecuaciones:

F₁*cos(40°) + F₂ - fr_d = M*a,

F₁*sen(40°) + N - P = 0;

sustituyes las expresiones de los módulos de las fuerzas, y queda:

100*cos(40°) + 40 - 0,15*N = 50*a,

40*sen(40°) + N - 490 = 0, de aquí despejas: N = 490 -40*sen(40°) ≅ 464,288 N,

reemplazas este valor en la primera ecuación, resuelves su primer miembro, y queda:

46,961 ≅ 50*a, aquí divides por 50 en ambos miembros, y queda: 0,939 m/s² = a,

que es el valor del módulo de la aceleración de la caja.

Espero haberte ayudado.

Observa que la gráfica de la fuerza como función del tiempo es un segmento, que está incluido en una recta que pasa por los puntos: (20,0) y (0,100), cuya pendiente queda expresada: m = (100-0)/(0-20) = 100/(-20) = -5, por lo que la ecuación de la recta (en el sistema cartesiano Ot-OF) queda: F = -5*t + 100.

Luego, tienes que la expresión de la función fuerza queda:

F(t) = -5*t + 100, con 0 ≤ t ≤ 20.

Luego, planteas la expresión de la función aceleración, y queda:

a(t) = F(t)/M, sustituyes la expresión de la fuerza, y el valor de la masa que tienes en tu enunciado, y queda:

a(t) = (-5*t + 100)/50, distribuyes el denominador, y la expresión de la aceleración queda:

a(t) = -0,1*t + 2 (1).

Luego, planteas la expresión de la velocidad, y queda:

dv/dt = a(t), sustituyes la expresión de la función aceleración señalada (1), separas variables, y queda:

dv = (-0,1*t + 2)*dt, integras en ambos miembros, y la expresión general de la velocidad queda:

v = -0,05*t² + 2*t + C (2);

luego, reemplazas los valores de la condición inicial (t = 0, v = 0), resuelves, y queda: 0 = C;

luego, reemplazas este valor en la ecuación señalada (2), cancelas el término nulo, y la expresión de la velocidad como función del tiempo queda:

v(t) = -0,05*t² + 2*t (3).

a)

Evalúas la expresión de la velocidad señalada (3) para el instante en estudio (t = 20 s), y queda:

v(20) = -0,05*20² + 20*2 = 20 m/s.

b)

Evalúas la expresión de la aceleración señalada (1) para el instante en estudio (t = 8 s), y queda:

a(8) = -0,1*8 + 2 = -0,8 + 2 = 1,2 m/s².

Espero haberte ayudado.

Observa que la gráfica de la función fuerza está conformada por dos tramos rectos, uno que une los puntos (0,20) y (10,40), y otro que parte desde el punto (10,40) y pasa por el punto (15,0).

Luego, planteas las ecuaciones de las dos rectas que incluyen a los trozos (te dejo la tarea), y la expresión de la función fuerza aplicada queda:

F(t) =

 2*t + 20              con 0 ≤ t ≤ 10,

-8*t + 120            con 10 < 40 ≤ 17.

Luego, planteas la expresión de la función aceleración (a(t) = F(t)/M, con M = 2 Kg), distribuyes el denominador, y queda:

a(t) =

 t + 10              con 0 ≤ t ≤ 10,

-4*t + 60         con 10 < t ≤ 17.

Luego, integras en cada trozo, y la expresión general de la función velocidad queda:

v(t) =

(1/2)*t² + 10*t + C          con 0 ≤ t ≤ 10,

-2*t² + 60*t + D              con 10 < 40 ≤ 17.

Luego, evalúas la primera expresión para la condición inicial (t = 0, v =15 m/s), y queda: C = 15,

por lo que la expresión de la función velocidad queda:

v(t) =

(1/2)*t² + 10*t + 15          con 0 ≤ t ≤ 10,

-2*t² + 60*t + D                con 10 < 40 ≤ 17.

Luego, evalúas la primera expresión para el valor final de su intervalo, y queda: v(10) = 165 m/s;

luego, considera la condición inicial para el segundo tramo ( t = 10, v = 165), y de él despejas: D = -235,

por lo que la expresión de lafunción velocidad queda:

v(t) =

(1/2)*t² + 10*t + 15          con 0 ≤ t ≤ 10,

-2*t² + 60*t - 235             con 10 < 40 ≤ 17.

a)

Evalúas la expresión de la función velocidad para el instante en estudio: t = 17 s (observa que corresponde al segundo trozo), y queda:

v(17) = -2*17² + 60*17 - 235 = -578 + 1020 - 235 = 207 m/s,

por lo que tienes que la opción señalada (c) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Recuerda la expresión del periodo de oscilacion en función de la masa del oscilador y de la constante recuperadora el resorte:

T = 2π*√(M/k), elevas al cuadrado en ambos miembros, resuelves el segundo miembro, y queda:

T² = 4π²*M/k (1).

Luego, tienes los datos de la primera situación: T₁ = 2 s, M1 = sin determinar, reemplazas estas expresiones en la ecuación señalada (1), resuelves su primer miembro, y queda:

4 = 4π²*M₁/k, divides por 4 y multiplicas por k en ambos miembros, y queda:

k = π²*M₁ (2).

Luego, tienes los datos de la segunda situación: T₂= 3 s, M2 = M1 + 2 Kg, reemplazas estas expresiones en la ecuación señalada (1), resuelves su primer miembro, y queda:

9 = 4π²*(M₁ + 2)/k, multiplicas por k en ambos miembros, y queda:

9k = 4π²*(M₁ + 2) (3).

Luego, divides miembro a miembro la ecuación señalada (2) entre la ecuación señalada (3), simplificas, y queda:

1/9 = M₁/( 4*(M₁ + 2) ), multiplicas en ambos miembros por 9 y por 4*(M₁ + 2), y queda:

4*(M₁ + 2) = 9*M₁, distribuyes el primer miembro, y queda:

4*M₁ + 8 = 9*M₁, restas x y restas 8 en ambos miembros, y queda:

-5*M₁ = -8, divides por -5 en ambos miembros, y queda:

M₁ = 1,6 Kg.

Espero haberte ayudado.