Observa que el dominio de la función es: D = (-∞,1) u (1,+∞).
Observa que tienes un valor de corte entre trozos: x = 2.
a)
Plantes la definición de continuidad de una función en el punto de corte x = 2:
1°)
f(2) = (2+2)/(2-1) = 4/1 = 4;
2°)
Lím(x→2-) f(x) = Lím(x→2-) (x+2)/(x-1) = 4/1 = 4,
Lím(x→2+) f(x) = Lím(x→2+) (3x2-2x)/(x+2) = 8/4 = 2,
por lo que tienes que el límite de la función para x tendiendo a 2 de la función no existe;
3°)
la función es discontinua esencial (o inevitable) en x = 2, y su gráfica presenta un salto en dicho valor.
b1)
Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) (x+2)/(x-1) = Lím(x→-∞) x(1+2/x) / x(1-1/x) = Lím(x→-∞) (1-2/x)/(1-1/x) = 1/1 = 1,
por lo que tienes que la gráfica de la función presenta asíntota horizontal izquierda, cuya ecuación es:
y = 1 y, por lo tanto, tienes que la gráfica de la función no presenta asíntota oblicua izquierda;
b2)
Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) (3x2-2x)/(x+2) = Lím(x→+∞) x2(3-2/x) / x(1+2/x) =
= Lím(x→+∞) x(3-2/x)/(1+2/x) = +∞,
por lo que tienes que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal derecha;
b3)
Lím(x→+∞) f(x)/x = Lím(x→+∞) (3x2-2x) / x(x+2) = Lím(x→+∞) x2(3-2/x) / x2(1+2/x) =
= Lím(x→+∞) (3-2/x)/(1+2/x) = 3,
por lo que la pendiente de la asíntota oblicua derecha sería: m = 3,
Lím(x→+∞) (f(x) - mx) = Lím(x→+∞) ( (3x2-2x)/(x+2) - 3x ) = Lím(x→+∞) ( 3x2-2x - 3x(x+2) ) / (x+2) =
= Lím(x→+∞) (3x2-2x - 3x2-6x) / (x+2) = Lím(x→+∞) (-8x) / (x+2) =
= Lím(x→+∞) (-8x) / x(1+2/x) = Lím(x→+∞) (-8) / (1+2/x) = -8,
por lo que tienes que la ordenada al origen de la asíntota oblicua derecha es b = -8,
y puedes concluir que la gráfica de la función presenta asíntota oblicua derecha, cuya ecuación cartesiana explícita es:
y = 3x - 8.
Espero haberte ayudado.
