Para que sea continua se tiene que cumplir que c=1 porque:

Como lim(x->0^-) f(x) = c

y  lim(x->0⁺) f(x) -----L´Hopital-----> lim(x->0⁺) (1/(x+1))/1 = 1

f´(x)=

2x+b si x<0

(((1/(x+1))*x)-(ln(x+1))*1)/x²  si x>0  (tienes que derivar con L´Hopital o la definición)

Tendrán que coincidir los dos límites laterales ya así hallas el valor de b.

En el primer paso tienes que corregir porque la derivada de √(1-x²) = (-2x)/(2√(1-x²)) = -x/(√(1-x²))

Intenta corregirla y si no te cuadran los resultados vuelve a preguntar.

Muchisimas gracias ya me he dado cuenta de mi error :)

f(x) = x² + ax + b

f'(x) = 2x + a

Si queremos que f(x) tenga un mínimo en x =  -1, la derivada en este punto vale 0. Por lo tanto:

0 = 2*-1 + a  ----> a = 2

Y ahora tenemos que obligar a que la f(x) pase por (-1, 2):

f(x) = x² + ax + b  ---->  2 = (-1)² + 2*-1 + b    -----> b = 2-1+2 = 3

Respuesta: f(x) = x² + 2x + 3

x+y=16  -------->  y=16-x

f(x,y)=xy ---->  f(x)= x(16-x)  ----->  f(x)= x²-16x

f´(x)=2x-16

f´(x)=0

entonces

2x-16=0 ----> x=8

Como x+y=16 y x=8, entonces y=8

Los dos números son igual a 8.

**Errores:

f(x)=-x²+16x

f´(x)= -2x+16

Después de averiguar el valor de x en f´(x) tienes que verificar que efectivamente es un máximo porque se cumple que f´´(x) = -2 >0

Disculpa!

Planteas la matriz λ*I, y queda:

λ   0   0

0   λ   0

0   0   λ.

Luego, planteas la matriz (λ*I - A), y queda:

λ-2   -1    0

-3    λ-2   0

 0     0   λ-4;

luego, desarrollas su determinante según su tercera fila, y queda:

det(λ*I - A) = (λ-4)*(  (λ-2)² - 3 ) = (λ-4)*(λ² - 4λ + 4 - 3) = (λ-4)*(λ² - 4λ + 1).

Luego, tienes la ecuación de tu enunciado:

det(λ*I - A) = 0, sustituyes la expresión del determinante en el primer miembro, y queda:

(λ-4)*(λ² - 4λ + 1) = 0,

luego, por anulación de un producto tienes dos opciones:

a)

λ - 4 = 0, aquí haces pasaje de término, y queda: λ₁ = 4;

b)

λ² - 4λ + 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son: λ₂ = 2 - √(3) y λ₃ = 2 + √(3) .

Espero haberte ayudado.

Dominio f(x)= Todos los números reales excepto x tal que x²-4x+3=0 

 x²-4x+3=0 ----->  x₁=1 , x₂=3

Dominio f(x)=  Todos los números reales excepto x=1,x=3    

Dominio f(x)= (-inf,1)U(1,3)U(3,inf) = ℛ-{1,3}

Dos números suman 22

x+y=22  ---------->  x=22-y

La diferencia de sus cuadrados es 44

x²-y²=44  -------> (22-y)²-y²=44  ---->  484+y²-44y-y²=44 ---->  484-44=44y ---->  440=44y  ----> y=10

Como x+y=22 , y=10 entonces x=12

Los números son 10 y 12.

hola angel , gracias , Pero ¿donde sacas el 44y? , no lo entiendo 

gracia de nuevo 

Te añado un paso intermedio, a ver si lo ves:

484+y2-44y-y2=44   ----->  484-44= -y2+y2+44y  ------>  440=44y  

ángel , no lo veo , de donde sale el 44 y , lo demás si 484 viene de 22*22 , y^2 , hasta hay bien pero el 44 y me deja descolocado 

lo siento por no entenderlo , pero .....

Angel , muchas gracias , ya he visto de donde sale el dichoso 44y , de realizar la identidad notable , jjaaajaaa muchas gracias 

El dominio lo tienes mal, el apartado b) en general bien.

Observa que en el primer trozo f(x) está definida por una recta, que su dominio siempre es (-inf,inf)

El 2º trozo no estaría definido para x=0, pero esto no afectará a la continuidad de la función (pues ese punto de discontinuidad estará fuera del dominio)

El tercer trozo es una recta de la forma f(x)=y=x+a, también su dominio es (-inf,inf)

1°)

Estudia la continuidad de la función en x = 0 por medio de la definición:

a)

f(0) = 1/(-1) = -1 (observa que x = 0 pertenece al intervalo del primer trozo de la expresión);

b)

plantea los límites laterales (observa que x = 0 es el punto de corte entre los trozos de la expresión de la función):

Lím(x→0-) f(x) = Lím(x→0-) (x²+1)/(x-1) = 1/(-1) = -1,

Lím(x→0+) f(x) = Lím(x→0+) (ax+b)/(x²+2x+1) = b/1 = b,

luego, como el límite debe existir para que la función sea continua, igualas expresiones, y queda: b = -1;

c) 

como tienes f(0) = Lím(x→0) f(x) = -1, puedes concluir que la función es continua en x = 0 para el valor remarcado.

2°)

Observa que x = 2 es un punto interno del intervalo que corresponde al segundo trozo de la expresión de la función, planteas la expresión de la función derivada por medio de la regla de la división entre funciones, y queda:

f ' (x) = ( a(x²+2x+1) - (ax+b)(2x+2) ) / (x²+2x+1)²,

luego, planteas la condición que tienes en tu enunciado:

f ' (2) = 0,

luego, sustituyes la expresión de la función derivada evaluada para el punto en estudio (x = 2), y queda:

( 9a - 6(2a+b) ) / 81 = 0, reduces la expresión del numerador, haces pasaje de divisor como factor, y queda:

-3a - 6b = 0, divides en todos los términos de la ecuación por -3, haces pasaje de término, y queda:

a = 2b, reemplazas el valor remarcado, y queda: a = -2.

Luego, la expresión de la función queda (observa que factorizamos el denominador de la expresión del segundo trozo):

f(x) =

(x²+1)/(x-1)                   si x ≤ 0,

(-2x-1)/(x+1)²               si x > 0.

Espero haberte ayudado.