Consiste en ir haciendo una tabla de valores:

Por ejemplo:

x=-10

f(-1)=-50+5/200=-50+1/40

Etcétera.

Lo siento pero no podemos ayudaros con dudas de economía. Espero lo entiendas... 

Tu profesora está muy despistada.

Sale 0, en efecto.

Lo que sucede es que, como (y/x)^2 >0 siempre, entonces: 1+(y/x)^2>1, y sea lo que fuere la indeterminación, 0/A, con A>1 da como límite 0.

¡No!

El rango es de "menos infinito" a "más infinito", por ser un polinomio de grado impar.

sen 2x - 2cos² x = 0

2sen x cos x - 2cos² x = 0

cos x (2sen x  - 2cos x )= 0

cos x = 0 => x=π/2 ^ x=3π/2

2sen x  - 2cos x = 0 => sen x  - cos x = 0 => sen x  =  cos x => x=π/4 ^ x=5π/4
x=π/2 + 2πk, k∈ℤ

x=3π/2+ 2πk, k∈ℤ

x=π/4+ 2πk, k∈ℤ

x=5π/4 + 2πk, k∈ℤ

Vamos con una orientación.

Te ayudo con el planteo de las expresiones de las funciones derivadas parciales primeras.

Puedes plantear las sustituciones (cambios de variables:

z = x*f(u) + g(u),

donde tienes:

u = y/x, cuyas derivadas parciales quedan: u_x = -y/x², u_y = 1/x.

Luego, planteas las expresiones de las derivadas parciales (presta atención al primer término), y quedan:

z_x = 1*f(u) + x*f ' (u)*u_x + g ' (u)*u_x = f(u) + x*f ' (u)*(-y/x²) + g ' (u)*(-y/x²) = f(u) - f ' (u)*y/x - f ' (u)*y/x² = f(u) - f ' (u)*y*x^-1 - g ' (u)*y*x^-2,

z_y = f ' (u) + g ' (u)/x = f ' (u) + g ' (u)*x^-1.

Luego, queda que plantees las expresiones de las cuatro funciones derivadas segundas, y que las sustituyas en la ecuación diferencial que tienes en tu enunciado, para comprobar que la misma se verifica.

Haz el intento (desde el vamos, observa que es una tarea algo intensa), y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

¿Podrías ayudarme con una de las derivadas de segundo orden? Aún tengo problemas en eso...

No, pues f(x)=|cos(x)| no es derivable en x=π/2∈ [0, π]