Buenas!

Si pones foto del enunciado original, te ayudamos.

El enunciado simplemente es: Hallar el siguiente límite

Multiplicas por z en todos los términos de la ecuación que tienes en tu enunciado, y queda:

z² + 1 = 2*cost*z, ordenas factores en el segundo miembro, haces pasajes de términos, y queda:

z² - 2*z*cost = -1, sumas cos²t en ambos miembros, y queda:

z² - 2*z*cost + cos²t = -1 + cos²t, factorizas en el primer miembro, extraes factor común en el segundo miembro, y queda:

(z - cost)² = -1*(1 - cos²t), aplicas la identidad trigonométrica del cuadrado del seno en función del cuadrado del coseno en el segundo miembro, y queda:

(z - cost)² = -1*sen²t, haces pasaje de potencia como raíz, y tienes dos opciones:

1)

z - cost = i*sent, haces pasaje de término, y queda:

z = cost + isent, luego, plantea las potencias del número complejo con la Fórmula de De Moivre:

zⁿ = cos(nt) + isen(nt),

1/zⁿ = z^-n = cos(-nt) + isen(-nt) = aplicas las identidades trigonométricas del ángulo opuesto = cos(nt) - isen(nt);

luego, planteas la suma que tienes en tu enunciado:

zⁿ + 1/zⁿ = sustituyes expresiones = cos(nt) + isen(nt) + cos(nt) - isen(nt) = reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones) = 2*cos(nt).

2)

z - cost = -i*sent, haces pasaje de término, y queda:

z = cost - i*sent = cos(-t) + i*sen(-t), luego, plantea las potencias del número complejo con la Fórmula de De Moivre:

zⁿ = cos(-nt) + isen(-nt) = aplicas las identidades trigonométricas del ángulo opuesto = cos(nt) - isen(nt)

1/zⁿ = z^-n = cos(-n(-t)) + isen(-n(-t)) = cos(nt) + isen(nt);

luego, planteas la suma que tienes en tu enunciado:

zⁿ + 1/zⁿ = sustituyes expresiones = cos(nt) - isen(nt) + cos(nt) + isen(nt) = reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones) = 2*cos(nt).

Por lo tanto, puedes concluir:

zⁿ + 1/zⁿ =  2*cos(nt).

Espero haberte ayudado.

Te recomiendo que mires esta lista de UNICOOS sobre factorización y luego vuelvas a intentar a hacer el ejercicio.

https://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/polinomios/descomposicion-factorial/factorizacion-de-polinomios-01

Aún así te digo una pequeña explicación. 

Tienes que igualar el polinomio a 0, resuelves la ecuación y las soluciones que te den son las raíces. Para expresarlo como producto de factores haz lo siguiente:

Supongamos que las soluciones de una ecuación te salen x₁ = 2 y x₂ = -3; pues el polinomio sería (x-2) · (x+3). Fíjate que si igualas cada paréntesis a 0, la solución del primer paréntesis es x₁ = 2 y del segundo x₂ = -3.

Saludos.

Debes tener en cuenta el Teorema Fundamental:

"un polinomio de grado n admite a lo sumo n raíces reales, y admite exactamente n raíces en el campo de los números complejos);

y debes recordar los casos de factorización, la resolución de ecuaciones polinómicas cuadráticas por medio de la Fórmula de Baskara, y la Regla de Ruffini.

a)

El polinomio es de grado 4, por lo que admite a lo sumo cuatro raíces reales.

Puedes comenzar por extraer factor común, y queda: P(x) = x*(x³+3x²-x-3);

luego, extraes factores comunes por grupos en el agrupamiento, y queda: P(x) = x*( x²*(x+3) - 1*(x+3) );

luego, extraes factor común en el agrupamiento, y queda: P(x) = x*(x+3)*(x²-1);

luego, factorizas la resta de cuadrados perfenctos en el último factor, y queda:

P(x) = x*(x+3)*(x+1)*(x-1), que es la expresión factorizada del polinomio,

y sus raíces son: a = 0, b = -3, c = -1, d = 1, que son los valores de la variable x que anulan cada factor.

b)

El polinomio es de grado 3, por lo que admite a lo sumo tres raíces reales.

Puedes comenzar por extraer factor común, y queda: P(x) = x*(x²-x-12);

luego, factorizas el polinomio cuadrático en el agrupamiento por medio de la Fórmula de Baskara, y queda:

P(x) = x*(x+3)*(x-4), que es la expresión factorizada del polinomio,

y sus raíces son: a = 0, b = -3, c = 4, que son los valores de la variable x que anulan cada factor.

e)

El polinomio es de grado 5, por lo que admite a lo sumo cinco raíces reales.

Puedes comenzar por extraer factor común, y queda: P(x) = x²*(x³-x²-5x-3);

luego, observa que una de las raíces del polinomio en el agrupamiento es -1,

por lo que factorizas por medio de la Regla de Ruffini, y queda: P(x) = x²*(x+1)*(x²-2x-3);

luego, factorizas el polinomio cuadrático en el agrupamiento por medio de la Fórmula de Baskara, y queda: P(x) = x²*(x+1)*(x+1)*(x-3),

luego, reduces factores semejantes, y queda:

P(x) = x²*(x+1)²*(x-3), que es la expresión factorizada del polinomio,

y sus raíces son: a = 0, b = -1, c = 3, que son los valores de la variable x que anulan cada factor.

g)

El polinomio es de grado 4, por lo que admite a lo sumo cuatro raíces reales.

Puedes comenzar por extraer factor común, y queda:

P(x) = 3x²*(x²+5);

luego, observa que el polinomio en el agrupamiento no tiene raíces reales, por lo que tienes la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números reales,

y su raíz es: a = 0, que es el único valor de la variable x que anula un factor;

luego, si has trabajado con números complejos, puedes igualar a cero la expresión del segundo factor, luego despejas, y tienes que la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números complejos queda:

P(x) = 3x2*(x+5i)*(x-5i), 

y sus raíces son: a = 0, b = -5i, c = 5i, que son los valores de la variable x que anulan factores.

c)

El polinomio es de grado 3,por lo que admite a lo sumo tres raíces reales.

Puedes comenzar por extraer factores comunes por grupos, y queda: P(x) = x²*(x-1) + 4*(x-1);

luego, extraes factor común, y queda:

P(x) = (x-1)*(x²+4);

luego, observa que el polinomio en el agrupamiento no tiene raíces reales, por lo que tienes la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números reales,

y su raíz es: a = 1, que es el único valor de la variable x que anula un factor.

luego, si has trabajado con números complejos, puedes igualar a cero la expresión del segundo factor, luego despejas, y tienes que la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números complejos queda:

P(x) = (x-1)*(x+2i)*(x-2i), 

y sus raíces son: a = 1, b = -2i, c = 2i, que son los valores de la variable x que anulan factores.

d)

El polinomio es de grado 3, por lo que admite a lo sumo tres raíces reales.

Observa que 2 es una raíz del polinomio, luego factorizas por medio de la Regla de Ruffini, y queda:

P(x) = (x-2)*(x²+2x+3);

que es la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números reales,

y su raíz es: a = 2, que es el único valor real de la variable x que anula un factor;

luego, si has trabajado con números complejos, aplicas la Fórmula de Baskara para factorizar el polinomio del agrupamiento, y queda:

P(x) = (x-2)*( x -(-1-√(2)i) )*( x -(-1+√(2)i) );

que es la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números complejos,

y sus raíces son: a = 2, b = -1-√(2)i, c = -1+√(2)i, que son los valores de la variable x que anulan factores.

f)

El polinomio es de grado 3, por lo que admite a lo sumo tres raíces reales.

Observa que 2 es una raíz del polinomio, por lo que factorizas por medio de la Regla de Ruffini, y queda: P(x) = (x-2)*(x²-5x+4);

luego, factorizas el polinomio cuadrático del agrupamiento por medio de la Fórmula de Baskara, y qeuda:

P(x) = (x-2)*(x-1)*(x-4);

que es la expresión factorizada del polinomio,

y sus raíces son: a = 2, b = 1, c = 4, que son los valores de la variable x que anulan factores.

h)

El polinomio es de grado 4, por lo que admite a lo sumo cuatro raíces reales.

Factorizas la resta entre cuadrados perfectos, y queda: P(x) = (x²-4*(x²+4);

luego, factorizas la resta de cuadrados en el primer factor (observa que el segundo no tiene raíces reales), y queda:

P(x) = (x+2)*(x-2)*(x²+4);

que es la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números reales,

y sus raíces son: a = -2, b = 2, que son los valores reales de la variable x que anulan factores;

luego, si has trabajado con números complejos, puedes igualar a cero la expresión del tercer factor, luego despejas, y tienes que la expresión factorizada del polinomio en el campo de los números complejos queda:

P(x) = (x+2)*(x-2)*(x+2i)*(x-2i), 

y sus raíces son: a = -2, b = 2, c = -2i, d = 2i, que son los valores de la variable x que anulan factores.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original. Me temo que la x ha de estar fuera del radical.

Sí, perdón. Lo había copiado mal. Esta es la función:

Ya vas viendo:

Entre -pi/6  y  2pi/3  crece.

Entre  2pi/3  y  -pi/6 + pi= 5pi/6  decrece.

Y así sucesivamente, por el carácter periódico de f' (la derivada), no de la función.