a)

Integras, y tienes la expresión general de la función:

f(x) = x⁴/2 - 2x³ + C (1).

Derivas la expresión de la función derivada primera, y tienes la expresión de la función derivada segunda:

f ' ' (x) = 6x² - 12x (2).

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada primera, y queda:

2x³ - 6x² = 0, divides por 2 en todos los términos de la ecuación, extraes factor común, y queda:

x²(x-3) = 0; luego, por anulación de un producto tienes dos opciones:

1)

x² = 0, haces pasaje de potencia como raíz, y queda: x = 0, evalúas en la expresión de la función derivada segunda, y queda: f ' ' (0) = 0, y observa que para valores cercanos menores que 0 la función derivada primera toma valores negativos, y que para valores cercanos mayores que 0 la función derivada primera toma valores también negativos, por lo que tienes que la gráfica de la función presenta inflexión en x = 0, ya que la expresión de la función derivada segunda toma valores con signos distintos en los puntos considerados;

2)

x - 3 = 0, haces pasaje de término, y queda: x = 3, evalúas en la expresión de la función derivada segunda, y queda:

f ' ' (3) =6*3² - 12*3 = 54 - 36 = 18 > 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba, por lo que presenta un mínimo en x = 3.

Luego, plantea la condición del enunciado para este mínimo:

f(3) = -12, reemplazas la expresión evaluada de la función en el primer miembro, y queda:

3⁴/2 - 2*3³ + C = -12, resuelves términos, y queda:

81/2 - 54 + C = -12, haces pasajes de términos, reduces términos numéricos, y queda:

C = 3/2;

luego, reemplazas en la expresión señalada (1), y queda:

f(x) = x⁴/2 - 2x³ + 3/2,

que es la expresión de la función.

b)

La abscisa del punto de inflexión la tienes determinada: x = 0, y su ordenada queda: f(0) = 3/2,

por lo que el punto de inflexión queda expresado: Y(0,3/2):

Luego, observa que el valor de la función derivada primera en dicho punto es: f ' (0) = 0,

por lo que la pendiente de la recta tangente es: m = 0,

por lo que tienes que la recta es paralela al eje coordenado OX, y su ecuación cartesiana queda: y = 3/2.

Espero haberte ayudado.

Tienes el vector director de la recta r: u = <1,0,2> y un punto que pertenece a ella: A(0,1,-1).

Tienes el vector normal al plano de proyección: n_π = <1,-2,1>.

Luego, observa que el plano proyectante contiene a la recta, y por lo tanto al punto A(0,1,-1), y es perpendicular al plano de proyección, por lo que puedes plantear para su vector normal:

n_p = n_π x u = <1,-2,1> x <1,0,2> = <-4,-1,2>;

luego, planteas la ecuación del plano proyectante:

-4(x-0) - 1(y-1) + 2(z+1) = 0, distribuyes en todos los términos, reduces términos numéricos, y queda:

-4x - y + 2z + 3 = 0, multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:

4x + y - 2z - 3 = 0, haces pasaje de término, y queda:

4x + y - 2z = 3.

Luego, tienes que la proyección ortogonal de la recta sobre el plano de proyección π es la recta intersección entre este plano y el plano de proyección p, por lo que queda expresada por el sistema de ecuaciones cartesianas implícitas:

x - 2y + z = 0

4x + y - 2z = 3.

Espero haberte ayudado.

Tienes el vector director de la recta: u = <0,1,2>, y tienes un punto: a ella: P(1,2,2);

y observa que el punto P pertenece a la recta, por lo que no tienes que él mismo es su simétrico con respecto a la recta.

Por favor, consulta con tus docentes por las dudas se trate de un error de impresión de tu apunte.

Espero haberte ayudado.

Con L'Hôpital  o con infinitésimos?

l'hopial porfavor

Muéstranos tu trabajo y plantéanos dudas muy concretas.

Ya lo he resuelto, gracias igualmente

Muéstranos tu trabajo y plantéanos dudas muy concretas.

Ya me ha salido, gracias igualmente