Observa que la palabra PROBLEMA está formada por ocho letras distintas.
I)
Observa que tienes cinco consonantes: P, R, B, L, M, por lo que tienes que la cantidad de palabras puede ser:
A = 5! = 120, si las palabras de cinco letras tienen letras distintas;
B = 55 = 3125, si las palabras de cinco letras pueden contener letras iguales.
II)
Observa que tienes dos opciones para colocar las letras en los extremos: E y A, y también: A y E;
luego, observa que tienes seis letras disponibles para colocar las tres letras que quedan, por lo que la cantidad de palabras con letras distintas puede ser:
A = 2*6!/3! = 2*6*5*4 = 240, si las palabras de cinco letras tienen letras distintas;
luego, observa que tienes ocho letras disponibles para colocar las tres letras que quedan, por lo que la cantidad de palabras que pueden tener letras iguales puede ser:
B = 2*83 = 1024.
III)
Observa que tienes una sola opción para colocar la primera letra: L;
luego, observa que tienes siete letras disponibles para colocar las cuatro letras que quedan, por lo que la cantidad de palabras con letras distintas puede ser:
A = 1*7!/3! = 1*7*6*5*4 = 840;
luego, observa que tienes ocho letras disponibles para colocar las cuatro letras que quedan, por lo que la cantida de palabras que pueden tener letras iguales puede ser:
B = 1*84 = 4096.
Luego, parece ser que en tu enunciado hacen referencia a palabras con letras distintas, y tienes que la opción señalada (D) es la respuesta correcta, ya que todas las respuestas a las que hemos llegado para letras con letras que pueden repetirse no están consideradas en tu solucionario.
Espero haberte ayudado.