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Foro de preguntas y respuestas de Matemáticas

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    Uriel Dominguez
    el 12/1/20

    Hola, me ayudarían? Lo que no tengo muy muy claro es, si las condiciones de x=-1, x=0 y x=1 son los puntos de origen de la gráfica o si todas partes del origen en sus respectivos planos xz y yz. Perdón si es que hice una gráfica que ni al caso. 

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 13/1/20

    Vamos con una orientación.

    Tienes la expresión de la función de dos variables:

    f(x,y) = 9*x2 + y2,

    cuya gráfica es un paraboloide elíptico, con vértice: V(0,0,0), y eje de simetría OZ positivo, cuya ecuación cartesiana es:

    z = 9*x2 + y2 (1) (te dejo la tarea de esbozar esta gráfica.

    a)

    Planteas la ecuación general de las curvas de nivel de la función:

    f(x,y) = k, reemplazas la expresión señalada (1) en el primer miembro, y queda:

    9*x2 + y2 = k, con k ∈ R, 

    observa que en el primer miembro de esta última ecuación tienes una suma de términos positivos, por lo que puedes presentar a la familia de curvas de nivel de la función en la forma:

    9*x2 + y2 = k (2), con ∈ R≥ 0,

    que es la ecuación general de una familia de elipses con centro de simetría en el origen de coordenadas del plano OXY, o de un plano paralelo al mismo;

    luego, reemplazas los valore correspondientes de la función en el segundo miembro de la ecuación señalada (2), y queda:

    i)

    9*x2 + y2 = 0,

    que corresponde al origen de coordenadas del plano OXY (en este caso tienes una elipse degenerada a su centro de simetría);

    ii)

    9*x2 + y2 = 1, que puedes escribir en la forma:

    9*x2/1 + y2 = 1, divides por 9 en el numerador y en el denominador del primer miembro, y queda:

    x2/9 + y2 = 1,

    que es la ecuación de una elipse con centro de simetría en el origen de coordenadas del plano paralelo al plano OXY cuya ecuación es: z = 1, con semieje mayor cuya longitud es: a = 3 incluido en el eje OX de dicho plano, y con semieje menor: b = 1 incluido en el eje OY de dicho plano;

    iii)

    9*x2 + y2 = 9, divides por 9 en todos los términos de esta ecuación, y queda:

    x2 + y2/9 = 1,

    que es la ecuación de una elipse con centro de simetría en el origen de coordenadas del plano paralelo al plano OXY cuya ecuación es: z = 9, con semieje mayor cuya longitud es: a = 3 incluido en el eje OY de dicho plano, y con semieje menor: b = 1 incluido en el eje OX de dicho plano.

    b)

    Reemplazas los valores de las abscisas indicadas en la expresión de la gráfica de la función señalada (1), y queda:

    i)

    z = 9*(-1)2 + y2, resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

    z = y2 + 9,

    que es la ecuación de una parábola con vértice (0,9), incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: x = -1;

    ii)

    z = 9*12 + y2, cancelas el término nulo, y queda:

    z = y2,

    que es la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas, incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: x =0;

    iii)

    z = 9*12 + y2, resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

    z = y2 + 9,

    que es la ecuación de una parábola con vértice (0,9), incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: x =1.

    c)

    Reemplazas los valores de las ordenadas indicadas en la expresión de la gráfica de la función señalada (1), y queda:

    i)

    z = 9*x2 + (-1)2, resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

    z = 9*x2 + 1,

    que es la ecuación de una parábola con vértice (0,1), incluida en el plano paralelo al plano OYZ, cuya ecuación es: y = -1;

    ii)

    z = 9*x2 + 02, cancelas el término nulo, y queda:

    z = 9*x2,

    que es la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas, incluida en el plano paralelo al plano OXZ, cuya ecuación es: y = 0;

    iii)

    z = 9*x2 + 12, resuelves el término numérico, ordenas términos, y queda:

    z = 9*x2 + 1,

    que es la ecuación de una parábola con vértice (0,1), incluida en el plano paralelo al plano OXZ, cuya ecuación es: y =1.

    Espero haberte ayudado.

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    juana
    el 12/1/20

    Hola, podrían ayudarme con este ejercicio :)


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    Antonius Benedictus
    el 12/1/20


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    Itziar martinez
    el 12/1/20

    me podríais hacer la siguiente derivada ,(2x^4 +3X)^3

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    César
    el 12/1/20


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    César
    el 12/1/20

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    Fuen
    el 12/1/20

    Alguien puede resolver este límite 

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    Antonius Benedictus
    el 12/1/20


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    César
    el 12/1/20


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    Rubén
    el 12/1/20

    Me pueden ayudar con este ejercicio también?


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    Jose Ramos
    el 12/1/20


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    Jose Ramos
    el 12/1/20


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    ricardo
    el 12/1/20

    Alguien me puede ayudar con este ejercicio de sistema compatible indeterminado:


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    Yauset Cabrera
    el 12/1/20

    Resulta que el sistema está integrado por ecuaciones equivalentes, es decir: todos los coeficientes se ven multiplicados por un único número real. Por ejemplo, para obtener la segunda ecuación, multiplicas por dos la primera y ya la tienes. En este caso, el rango de la matriz ampliada que describe el sistema es uno, por lo que nos podemos quedar con una única ecuación para dar solución al sistema. Escogiendo la primera ecuación, y llamando y=t ; z=ξℛ; se tiene que las soluciones al sistema se expresan como:

    (x,y,z)=(1-t-ξ, t, ξ) ; (t,ξ)∈ℛ^2

    Espero haberte ayudado ;)


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    Rubén
    el 12/1/20

    Hola unicoos, me pueden ayudar con un ejercicio que no me sale? Es el 2 de esta relación. No sé en qué me he equivocado pero la dim de la suma me sale que es 4 no 3.



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    Antonius Benedictus
    el 12/1/20


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    Rubén
    el 12/1/20

    Para hallar la base de la suma de dos subespacios hay que unir las bases de ambos y usted ha unido el sistema generador de ambos lo cual es incorrecto, ¿no?


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    Antonius Benedictus
    el 12/1/20

    Rematamos:


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    Antonius Benedictus
    el 12/1/20

    Se pueden unir todos los generadores y después extraer los linealmente independientes.


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    Borja
    el 12/1/20

    ¿Como habría que plantear el siguiente ejercicio y cuál es su solución? El enunciado es algo confuso, en especial lo de "y su producto sea máximo" 

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 12/1/20

    Puedes comenzar por designar: x, y, z, a los tres números enteros positivos que debes determinar.

    Luego, tienes que la suma de los tres números es igual a sesenta, por lo que puedes plantear la ecuación:

    x + y + z = 60, y de aquí despejas:

    z = 60 - x - y (1).

    Luego, tienes que el segundo número es igual al doble del primero, por lo que puedes plantear la ecuación:

    y = 2*x (2);

    luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

    z = 60 - x - 2*x, reduces términos semejantes, y queda:

    z = 60 - 3*x (3).

    Luego, planteas la expresión del producto de los tres números enteros, y queda:

    P = x*y*z, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3), y queda:

    P = x*(2*x)*(60 - 3*x), resuelves la multiplicación de los dos primeros factores, y queda:

    P = 2*x2*(60 - 3*x), distribuyes, y queda:

    P(x) = 120*x2 - 6*x3 (4),

    que es la expresión del producto de los tres números enteros en función del menor de ellos,

    y observa que esta expresión corresponde a una función continua y derivable.

    Luego, planteas las expresión de la función derivada, y queda:

    P'(x) = 240*x - 18*x2 (5);

    luego, planteas la condición de valor estacionario (posible mínimo o posible máximo de la función), y queda:

    P'(x) = 0, sustituyes la expresión señalada (5), y queda:

    240*x - 18*x2 = 0, divides en ambos miembros por -6, ordenas términos, y queda:

    3*x2 - 40*x = 0,

    que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

    1°)

    x = 0, que al reemplazar y resolver en las ecuaciones señaladas (2) (3) conduce a: y = 0, z = 60,

    y al evaluar la expresión de la función producto señalada (4) queda: P(0) = 0;

    2°)

    x = 40/3, que al reemplazar y resolver en las ecuaciones señaladas (2) (3) conduce a: y = 80/3, z = 20,

    y al evaluar la expresión de la función producto señalada (4) queda: P(40/3) = 64000/9;

    luego, observa que tienes que la función producto alcanza su valor máximo (64000/9), para el valor x = 40/3 ≅ 13,333, que no es un valor entero.

    Luego, estudias el problema para los dos números enteros más cercanos valor estacionario, y tienes dos opciones:

    a)

    x = 13

    reemplazas en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda:

    y = 26,

    reemplazas estos dos valores en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:

    z = 21;

    luego, evalúas la expresión dela función producto señalada (1) para el valor remarcado, y queda:

    P(13) = 7098 (6);

    b)

    x = 14

    reemplazas en la ecuación señalada (2), resuelves, y queda:

    y = 28,

    reemplazas estos dos valores en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:

    z = 18;

    luego, evalúas la expresión dela función producto señalada (1) para el valor remarcado, y queda:

    P(14) = 7056 (7).

    Luego, comparas los valores que toma la función producto señalados (6) (7), y puedes concluir que los tres números enteros positivos que cumplen las condiciones de tu enunciado son:

    x = 13, y = 26, z = 21

    y que su producto es:

    P(13) = 7098,

    que es el máximo posible para tres números enteros positivos que cumplan las condiciones de tu enunciado.

    Espero haberte ayudado.

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    ricardo
    el 12/1/20

    Alguien me puede ayudar con este ejercicio:

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 12/1/20

    Completas términos en las ecuaciones, y el sistema de tu enunciado queda:

    3x + 1y + 0z = 7,

    0x + 2y - 2z = 0,

    1x + 1y - 1z = 2;

    que es un sistema de tres ecuaciones lineales, de primer grado, y con tres incógnitas.

    Luego, planteas la expresión del determinante de este sistema, y queda:

    D = 

    3   1   0

    0   2  -2

    1   1  -1, 

    resuelves este determinante (por ejemplo desarrollándolo según su primera fila, o aplicando la Regla de Sarrus), y queda:

    D = -2 ≠ 0,

    por lo que tienes que el sistema es compatible determinado y admite solución única.

    Luego, planteas el determinante asociado a la incógnita x, y queda:

    Dx = 

    7   1   0

    0   2  -2

    2   1  -1, 

    resuelves este determinante (por ejemplo desarrollándolo según su primera fila, o aplicando la Regla de Sarrus), y queda:

    Dx = -4.

    Luego, planteas el determinante asociado a la incógnita y, y queda:

    Dy = 

    3   7   0

    0   0  -2

    1   2  -1, 

    resuelves este determinante (por ejemplo desarrollándolo según su segunda fila, o aplicando la Regla de Sarrus), y queda:

    Dy = -2.

    Luego, planteas el determinante asociado a la incógnita z, y queda:

    Dz = 

    3   1   7

    0   2   0

    1   1   2, 

    resuelves este determinante (por ejemplo desarrollándolo según su segunda fila, o aplicando la Regla de Sarrus), y queda:

    Dz = -2.

    Luego, planteas la expresión de la solución del sistema, y queda:

    x = Dx/D, reemplazas valores, y queda: y = -4/(-2), resuelves, y queda: x = 2,

    y = Dy/D, reemplazas valores, y queda: y = -2/(-2), resuelves, y queda: y = 1,

    z = Dz/D, reemplazas valores, y queda: z = -2/(-2), resuelves, y queda: z = 1.

    Espero haberte ayudado.

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    Jean Anthony
    el 12/1/20

    Hola alguien me podría ayudar con este problema de serie de McLaurin ?

    Mi suposición es que primero consigues la derivada con el Teorema Fundamental del Cálculo, y F(0) = 0. Pero igual no se como conseguir el patron de la serie en 'n'.

    Cualquier ayuda es muy agradecida.

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 12/1/20

    Vamos con una orientación.

    Aplicas el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y queda:

    F'(x) = x2*cos(x2) (1).

    Luego, observa que el primer factor corresponde a una expresión monómica desarrollada alrededor de x0 = 0.

    Luego, planteas la expresión del desarrollo de Mc Laurin para la función coseno, y queda:

    cos(w) = ∑(k=0,+∞) [(-1)k/(2k)!]*w2k;

    luego, aplicas la sustitución (cambio se variable): w = x2, y queda:

    cos(x2) = ∑(k=0,+∞) [(-1)k/(2k)!]*(x2)2k,

    resuelves el exponente en el último factor del argumento de la suma infinita, y queda:

    cos(x2) = ∑(k=0,+∞) [(-1)k/(2k)!]*x4k (2).

    Luego, sustituyes la expresión señalada (2) en el segundo factor de la expresión señalada (1), y queda:

    F'(x) = x2*∑(k=0,+∞) [(-1)k/(2k)!]*x4k,

    introduces el factor común (x2) en la suma infinita, asocias factores semejantes en su argumento, y queda:

    F'(x) = ∑(k=0,+∞) [(-1)k/(2k)!]*x4k+2 (3),

    que es la expresión de la serie de Mc Laurin correspondiente a la derivada de la función cuya expresión tienes en tu enunciado.

    Luego, queda que integres, y observa que hemos trabajado con una suma infinita.

    Espero haberte ayudado.

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