Hola! Me encantaría ayudarte, pero no respondemos dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

En general, la expresión: "Lx" o "Lnx" hace referencia al logaritmo neperiano.

Luego, tienes la integral:

I = ∫ sen(Lnx)*dx (*),

planteas el Método de Integración por Partes, y tienes:

u = sen(Lnx), de donde tienes: du = cos(Lnx)*dx/x,

dv = dx, de donde tienes: v = x;

luego, aplicas el método, y queda:

I = x*sen(Lnx) - ∫ cos(Lnx)*dx (1).

Luego, planteas el Método de Integración por Partes para la integral secundaria, y tienes:

u = cos(Lnx), de donde tienes: du = -sen(Lnx)*dx,

dv = dx, de donde tienes: v = x;

luego, aplicas el método, y queda:

∫ cos(Lnx)*dx = x*cos(Lnx) + ∫ sen(Lnx)*dx (2).

Luego, sustituyes los dos términos de la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), resuelves signos, y queda:

I = x*sen(Lnx) - x*cos(Lnx) - ∫ sen(Lnx)*dx, sustituyes la expresión señalada (*) en el último término (observa que es la integral de tu enunciado), y queda:

I = x*sen(Lnx) - x*cos(Lnx) - I, sumas I en ambos miembros, y queda:

2*I = x*sen(Lnx) - x*cos(Lnx), multiplicas por 1/2 en todos los términos, introduces la constante de integración, y queda:

I = (1/2)*x*sen(Lnx) - (1/2)*x*cos(Lnx) + C,

que es la expresión de la solución general para la integral de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Mil  Gracias

El cálculo del logaritmo manualmente es complicado. De hecho se inventaron para realizar operaciones complejas sin necesidad de recurrir a algoritmos preestablecidos (Hoy, gracias a las calculadoras, han perdido esa funcionalidad, aunque se utilizan en muchos otros ámbitos). Hay métodos numéricos de aproximación para hacerlo.  Por ejemplo, supón que quieres calcular el log 2.  Sabemos que el log 2 es un valor x, de modo que 10^x = 2.  Consideramos la función f(x)=10^x-2.   Se trata de resolver la ecuación 10^x-2 = 0.   Para resolver estas ecuaciones por métodos numéricos (utilizando reiteraciones) tenemos el método de Newton-Raphson, o el método de la Regula Falsi  (en Youtube están explicados) que te permitirían averiguar con un grado de aproximación mayor o menor dependiendo del número de iteraciones, el valor de x, es decir del logaritmo decimal de 2.

Es lo más que se me ocurre.

La solución está perfecta

Muchisimas gracias 

No es correcto. Hallaste los puntos críticos correctamente pero la solución es incorrecta. El signo del numerador te queda positivo/raíz/negativo, el del denominador queda negativo/raíz/positivo, sumas ambos signos, teniendo en cuenta que la raíz del denominador no existe en el signo total y te queda negativo/punto no existencia/positivo/raíz/negativo.

El ejercicio pide menor estricto así que tu solución es: 

Porque en el intervalo entre -2 y -9/5 el resultado es positivo, así que no va en la solución.

Hola Clow, muchas gracias por tu mensaje. He comprobado y corregido la solución, (-∞, -2) U (-1.8, ∞), y adjunto de nuevo el ejercicio. No obstante en tu contestación hay cosas que no comprendo y me gustaría saber. ¿Qué quieres decir con el siguiente textos?

“El signo del numerador te queda positivo/raíz/negativo, el del denominador queda negativo/raíz/positivo, sumas ambos signos, teniendo en cuenta que la raíz del denominador no existe en el signo total y te queda negativo/punto no existencia/positivo/raíz/negativo."

Es simplemente la forma en que yo planteo los signos para verlo claramente. Tú lo haces con una tabla, se puede hacer con rectas reales, etc. Haces el signo del numerador, el signo del denominador y a partir de esos obtienes el signo total.