Observa que tienes la expresión de una función diferenciable en R2.
Luego, planteas las expresiones de las funciones derivadas parciales primeras, y queda:
fx = 2a*x,
fy = 2b*y;
y observa que están definidas en R2, y que se anulan a la vez (si a y b son distintos de cero) en el punto A(0,0), por lo que es su punto estacionario.
Luego, planteas las expresiones de las funciones derivadas parciales segundas, y queda:
fxx = 2a (constante),
fxy = 0 (constante),
fyx = 0 (constante),
fyy = 2b (constante).
Luego, planteas la expresión del discriminante hessiano, y queda:
H(x,y) = fxx*fyy - fxy*fyx, sustituyes expresiones, y queda:
H(x,y) = 2a*2b - 0*0 = 4ab, que evaluado en el punto estacionario queda:
H(0,0) = 4ab.
Luego, de acuerdo con el Criterio de las Derivadas Segundas, tienes cuatro opciones:
1)
H(0,0) > 0, y: a > 0 y b > 0, tienes que la gráfica de la función presenta un mínimo local en el punto estacionario;
2)
H(0,0), y: a < 0 y b< 0, tienes que la gráfica de la función presenta un maximo local en el punto estacionario;
3)
H(0,0), y: a > 0 y b < 0 o a< 0 y b > 0, tienes que la gráfica de la función presenta ensilladura en el punto estacionario;
4)
H(0,0), y: a = 0 o b = 0, tienes que el criterio no permite decidir el caracter del punto estacionario.
Por lo tanto, a partir de las opciones señaladas (1) (3) puedes concluir que la proposición de tu enunciado es Falsa.
Espero haberte ayudado.
