Don´t get sad over a trifle like that!!   :D

forma directa

a < 1

como a≠0, pues a un número real positivo, podemos multiplicar por a en  ambos términos sin variar la desigualdad:

a·a < a·1

a2 < a

contrarrecíproco

si a² ≥ a

como a≠0, pues a un número real positivo, podemos dividir por a en  ambos términos sin variar la desigualdad:

2)

Primero averiguamos el lado, para ello usamos esta formula donde n =cantidad de lados:

Lado= 2 * Radio * seno(π/n) 
lado= 2 * 4m * sen (180º/8)
lado= 8m * sen(22º 30')
lado= 8m * 0,38
lado= 3,04m

área= 1/4 * n * Lado² / tan(π/n)                       
área= 1/4 * 8 * (3,04m)² / tan(180º/8)
área= 1/4 * 8 * 9,2416m² / tan(22º 30') 
área= 2* 9,2416m² / 0,41
área= 18,4832m² / 0,41
área= superficie= 45,081m²

3.- La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de diámetro. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de 35 vueltas?

n=L/2π*r

35=L/(2π*0.4m)

L= 35*2π*0.4m= 28π m= 87.96 metros ha recorrido después de 35 vueltas

4. Halla el área de una pista de patinaje circular rodeada por una valla de 120 m.

Calculamos el radio de la pista:

L = 2πr

120 = 2*3,14*r

120 = 6,28*r

r = 19,11 m

Área = πr = 3,14 ⋅ 19,11² = 1146,7031 m²

Intenta hacer el último y si no te sale, nos comentas

a)

por el contrarrecíproco:

supongamos que a y b son ambos racionales, entonces  a/b será racional pues: 

a=p/q     racional

b=r/s      racional

a/b=(p/q)/(r/s)=(ps)/(qr)=m/n  racional

b)

la afirmación recíproca es falsa:

el cociente de dos números irracionales no siempre es irracional

como contraejemplo: 

a=2π     irracional

b=π       irracional

a/b=2   natural

No se lee.

En x sub i esta muy insatisfecho,insatisfecho,normal,satisfecho y muy satisfecho.

En n sub i esta 15,25,28, 20,12 y de total 100.

En f sub i hay 0´15,0´25,0´28,0´20,0´12 y de total 1.

En N sub i esta 15,40,68,88 y total 100.

En F sub i hay 0´15,0´40,0´68,0´88 y total 1.

En f sub i de poercentaje esta 15%,25%,28%,20%,12% y de total 100%.

Creo que está bien, Hanna.

En las columnas N y F:

En N sub i debe estar 15,40,68,88,100.

En F sub i debe haber 0´15,0´40,0´68,0´88,1.

sin poner total.

si n³ es múltiplo de 3 entonces n³ es igual a 3 multiplicado por un número, es decir n³=3k 

dividiendo ambos términos por n² tenemos: (n≠0 al pues es un número natural)

n=3k/n² =3·k/n² el cual es múltiplo de 3, pues n es igual a 3 multiplicado por un número (k/n²)

por el contrarrecíproco hay que demostrar que si n no es múltiplo de 3, entonces n³ no es múltiplo de 3:

si n no es múltiplo de 3 entonces n no es igual a 3 multiplicado por un número, es decir,

bien

 n es igual a 3 multiplicado por un número +1

bien

 n es igual a 3 multiplicado por un número +2

en el primer caso:

n=3k+1

n³=(3k+1)³=27k³+27k²+9k+1=3(9k³+9k²+3k)+1=3m+1 => no es múltiplo de tres

en el segundo caso:

n=3k+2

n³=(3k+2)³=27k³+54k²+36k+8=3(9k³+18k²+12k+2)+2=3m+2 => no es múltiplo de tres

Halla la derivada

iguálala a cero

resuelve la ecuación

te va a dar 5 y -1

halla la segunda derivada

sustituye en ella el 5, te da positivo =>  x= 5 es un mínimo

sustituye en ella el -1, te da negativo => x= -1 es un máximo

Por lo tanto: crece en (-∞,-1)U(5,+∞) y decrece en (-1,5)

Se trata de una demostración basada en los axiomas de Peano sobre los números naturales. Creo que excede un poco el nivel de bachiller. La función s indica 2el siguiente". Te mando un enlace. http://casanchi.com/mat/naturales01.pdf

No es tan sencillo , se necesitaron mas de 300 hojas para demostrarlo  http://www.uhu.es/francisco.moreno/gii_mac/docs/Principia_Mathematica_vol3.pdf

La tuya se la dejo a los mas expertos.

Gracias por contestar.

Es cierto que excede el nivel, no pensé en la demostración "sesuda", sino en la notación usada en el pizarrón en sí, que tiene una parte que no logro seguir...

De todos modos, ya que estoy, cambiando un poco de tema, en los axiomas de Peano se incluye el 0 entre los números naturales, pero yo siempre he creído que no estaba incluido, incluso cuando preparaba el curso de acceso de la UNED pensaba que lo tenía claro: según "Matemáticas especiales", pero ahora ya no sé si lo está o no...

Si distinguimos los números naturales "cardinales" (número de elementos de un conjunto) de los "ordinales" (número de oden en una secuencia), en los rimeros está (0∈ℕ*), pero en los segundos, no (0∉ℕ)