Planteamos la ecuación del Haz de Rectas que pasan por el punto de coordenadas (2,2):
y - 2 = m(x - 2),
luego, planteamos que el triángulo está en el primer cuadrante, y corta a los ejes OX y OY en los puntos de coordenadas A(a,0) y B(0,b), respectivamente;
luego, reemplazamos las coordenadas de los puntos en la ecuación del Haz y queda el sistema de ecuaciones:
0 - 2 = m(a - 2)
b - 2 = m(0 - 2);
cancelamos términos nulos, distribuimos y quedan:
- 2 = ma - 2m (1)
b - 2 = - 2m (2)
luego planteamos para el área del triángulo rectángulo con ´vertices en los puntos A y B, y en el origen de coordenadas:
a*b /2 = 10, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:
a*b = 20 (3).
Luego, con las ecuaciones señaladas (1) (2) (3) tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
- 2 = ma - 2m
b - 2 = - 2m, de aquí despejamos: b = 2 - 2m (4)
a*b = 20
luego sustituimos y las otras dos ecuaciones quedan
- 2 = ma - 2m
a*(2 - 2m) = 20, de donde despejamos: a = 20/(2 - 2m) (5),
luego sustitumos en la otra ecuación y queda:
- 2 = 20m/(2 - 2m) - 2m, multiplicamos por (2 - 2m) en todos los términos de la ecuación y queda:
- 2(2 - 2m) = 20m - 2m(2 - 2m), distribuimos y queda:
- 4 + 4m = 20m - 4m + 2m2, hacemos pasajes de términos, reducimos términos semejantes y queda:
- 2m2 + 12m - 4 = 0. dividimos en todos los términos de la ecuación por -2 y queda:
m2 - 6m + 2 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:
1)
m = 3 + √(7) ≅ 2,646, que al reemplazar en las expresión señalada (4) conduce a:
b = 2 - 2( 3 + √(7) ) = - 4 - 2√(7) ≅ -9,292, que no corresponde a este problema (recuerda que b debe ser positivo);
2)
m = 3 - √(7) ≅ 0,354, que al reemplazar en la expresión señalada (4) conduce a:
b = 2 - 2( 3 - √(7) ) = - 4 + 2√(7) ≅ 1,292, luego al reemplazar en la expresión señalada (5) conduce a:
a = 20 / ( 2 - 2( 3 - √(7) ) ) = 20/( - 4 + 2√(7) ) ≅ 15,486.
Espero haberte ayudado.
