Vale, el punto es el (4,6) pero eso lo has realizado con un programa, ¿Cómo podría yo hallar el punto (4,6)?

Asi Miguel 

AaaH, Vale, Muchas gracias a ambos.

Un saludo, que paséis buenas noche.

Tienes que meterte en la zona de vídeos y ahí te aparecen las tres materias de física, química y matemáticas y los cursos.

Optimización    el segundo esta en uno de los videos

en el del cilindro tiene otros datos , pero el metodo es identico

Vamos con los planteos.

1)

Recuerda que para un cilindro circular recto de radio R y altura h tenemos:

Superficie (dos tapas circulares y una cara lateral cilíndrica): S = 2π*R² + 2π*R*h;

Volumen: V = π*R²*h.

Luego, suponiendo que se emplea todo el material, planteamos

S = 100 (en cm²), sustituimos y queda:

2π*R² + 2π*R*h = 100, hacemos pasaje de término y queda:

2π*R*h = 100 - 2π*R² , dividimos en todos los términos de la ecuación por 2π y queda:

h = 50/π - R, luego sustituimos en a expresión del volumen y queda:

V = π*R²*(50/π - R) distribuimos y queda:

V = 50*R² - π*R³,

que es la expresión de una función de variable R, y observa que R y V deben tomar valores estrictamente positivos,

luego queda que derives, iguales a cero para determinar los puntos críticos, y continúes el estudio tal como seguramente has visto en clase.

2)

Haz un dibujo, traza los márgenes y verás que la superficie ocupada por cuatro rectángulos en las esquinas, dos rectángulos en sus bases inferior y superior, y dos rectángulos en sus alturas izquierda y derecha.

Llamemos x a la base útil del cartel, por lo que tenemos que la base total mide: x + 2*2 = x + 4 (en cm).

Llamemos y a la altura útil del cartel, por lo que tenemos que la altura total mide: y + 2*3 = y + 6 (en cm).

Luego planteamos:

Área útil: A = x*y (en cm²);

Área total: A_T = (x + 4)*(y + 6) (en cm²).

Luego, a partir del enunciado, tenemos que el área total mide 150 (en cm2), por lo que planteamos:

A_T = 150, sustituimos y queda:

(x + 4)*(y + 6) = 150, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

y + 6 = 150/(x + 4), hacemos pasaje de término y queda:

y = 150/(x + 4) - 6.

Luego sustituimos en la expresión del área útil y queda:

A = x*(150/(x + 4) - 6), 

que es la expresión de una función de variable x, y observa que x y A deben tomar valores estrictamente positivos,

luego queda que derives, iguales a cero para determinar los puntos críticos, y continúes el estudio tal como seguramente has visto en clase.

3)

Recuerda que la elipse es una curva simétrica con respecto a los ejes coordenados OX y OY, por lo que el rectángulo inscripto también es simétrico a dichos ejes (haz un dibujo).

Luego, planteamos las coordenadas de los cuatro vértices: A(x,y), B(-x,y), C(-x,-y),D(x,-y), 

y observa que tenemos: para las dimensiones del rectángulo

longitud de la base: b =|BA| = |DC| = 2x (en cm, observa que x debe tomar valores estrictamente positivos);

longitud de la altura: h = |DA| = |CB| = 2y (en cm, observa que y debe tomar valores estrictamente positivos);

luego, pasamos a la expresión del área del rectángulo inscripto:

A = b*h, sustituimos y queda:

A = 2x*2y, resolvemos factores numéricos y queda.

A = 4x*y.

Luego, como los cuatro vértices pertenecen a la elipse, tenemos que verifican su ecuación, por lo que planteamos:

x²/16 + y²/4 = 1, hacemos pasaje de término y queda:

y²/4 = 1 - x²/16, multiplicamos por 4 en todos los términos de la ecuación y queda:

y² = 4 - x²/4,  hacemos pasaje de potencia como raíz (recuerda que y debe tomar valores estrictamente positivos) y queda:

y = √(4 - x²/4).

Luego sustituimos en la expresión del área del rectángulo inscrito y queda:

A = 4x*√(4 - x²/4),

que es la expresión de una función de variable x, y observa que x y A deben tomar valores estrictamente positivos,

luego queda que derives, iguales a cero para determinar los puntos críticos, y continúes el estudio tal como seguramente has visto en clase.

Espero haberte ayudado.

Puedes emplear las identidades de transformaciones en producto para el numerador (N) y para el denominador (D) de la expresión del primer miembro.

Tenemos:

N = sen(5a) + sena = 2*sen( (5a+a)/2 )*cos( (5a-a)/2 ) = 2*sen(3a)*cos(2a);

D = cos(5a) - cosa = -2*sen( (5a+a)/2 )*sen( (5a-a)/2 ) = - 2*sen(3a)*sen(2a).

Luego, pasamos al primer miembro de la identidad del enunciado:

(sen(5a) + sena) / (cos(5a) - cosa) = sustituimos:

= 2*sen(3a)*cos(2a) / ( -2*sen(3a)*sen(2a) ) = resolvemos signos y simplificamos:

= - cos(2a)/sen(2a) = aplicamos las identidades del coseno y del seno del doble de un ángulo:

= - (cos²a - sen²a) / (2*sena*cosa) = 

dividimos en el numerador y en el denominador por cos²a (observa que distribuimos en el numerador):

= - (1 - sen²a/cos²a) / (2*sena/cosa) = aplicamos la identidad de la tangente:

= - (1 - tan2a)/(2tana).

Espero haberte ayudado.

Tomemos un elemento genérico del subespacio S₁: p(x) = ax³ + bx² + cx + d, luego planteamos sus condiciones:

p(0) = 0, reemplazamos y queda. d = 0;

p(2) = 0, reemplazamos y queda: 8a + 4b + 2c + d = 0;

luego reemplazamos el valor de d, dividimos en todos los términos de la ecuación por 2 y queda:

4a + 2b + c = 0, de donde podemos despejar: c = - 4a - 2b.

Luego, la expresión del elemento genérico del conjunto S₁ queda: p(x) = ax³ + bx² + (- 4a - 2b)x + 0.

Luego, planteamos que este elemento genérico también pertenece al conjunto S₂, por lo que tenemos que dicho elemento tiene que ser igual a una combinación lineal de los elementos del conjunto generador de S₂, por lo que planteamos:

ax³ + bx² + (- 4a - 2b)x + 0 = A(x³ + x² + 1) + B(2x² + 2x + 1) + C(x³ + 5x² + 4x + 3), donde A, B y C son números reales que debemos determinar,

luego distribuimos términos y agrupamos términos según su grado en el segundo miembro, y queda:

ax³ + bx² + (-4a - 2b)x+ 0 = (A + C)x³ + (A + 2B + 5C)x² + (2B + 4C)x + (A + B + 3C),

luego comparamos coeficientes término a término y queda el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas:

A + C = a, de donde despejamos: C = a - A (1)

A + 2B + 5C = b

2B + 4C = -4a - 2b

A + B + 3C = 0

luego sustituimos la expresión señalada (1) en las demás ecuaciones, operamos y queda:

- 4A + 2B = - 5a + b

- 4A + 2B = -8a - 2b de donde despejamos: B = 2A - 4a - b (2)

- 2A + B = - 3a

luego sustituimos la expresión señalada (2) en las demás ecuaciones y queda:

- 8a - 2b = - 5a + b, de donde despejamos: b = - a (3)

-4a - b = - 3a - 3b

luego sustituimos la expresión señalada (3) en la última ecuación y queda:

- 4a + a = - 3a + 3a, reducimos términos semejantes y queda:

- 3a = 0, de donde tenemos: a = 0, que es la condición que debe cumplir el elemento genérico p(x) para pertenecer a los subespacios S₁ y S₂;

luego reemplazamos en la ecuación señalada (3) y tenemos: b = 0,

luego reemplazamos en la ecuación señalada (2) y tenemos: B = 2A,

luego reemplazamos en la ecuación señalada (1) y tenemos: C = - A,

luego observa que A puede tomar cualquier valor real,

luego reemplazamos en la expresión del elemento genérico y queda: p(x) = 0 (observa que hemos obtenido el polinomio nulo).

Por lo tanto, concluimos que el conjunto intersección entre los subespacios S₁ y S₂ queda: S = {0}.

Espero haberte ayudado.

Asintotas

mirate el video y si sigues con dudas nos cuentas

Muchísimas gracias.