¿Cómo sabes que tienes que integrar por partes ?

Por sustitución se complica cuando le haces el cambio de variable y du tener una raíz en su denominador. Pruébalo con ∫ arc sen dx y verás que es mucho más sencillo con cambio de variable. 

PRIMER INTERROGANTE

7x²+42x, que sacando factor común 7, quedaría: 7 (x+42)              Observa que 7x²+42x=7 (x+42) ....por lo que sólo hemos manipulado para seguir operando, no hemos modificado nada

SEGUNDO INTERROGANTE

Ese paso es incorrecto, pues (x+3)² es igual a x²+6x+9, te falta un 9 dentro del antepenúltimo paréntesis para que tu operación posterior fuera lícita 

Tienes una ecuación cuadrática implícita con dos incógnitas:

7x² + 16y² + 42x - 49 = 0, haces pasaje de término, ordenas términos y queda:

7x² + 42x + 16y² = 49, extraemos factor común numérico en los términos con incógnita x y queda:

7(x² + 6x) + 16y² = 49,

luego, sumamos y restamos en el agrupamiento para que nos quede un trinomio cuadrado perfecto:

7( (x² + 6x + 9) - 9 ) + 16y² = 49, factorizamos el trinomio y queda:

7( (x + 3)² - 9 ) + 16y² = 49, distribuimos en el primer término y queda:

7(x + 3)² - 63 + 16y² = 49, hace pasaje de término numérico y queda:

7(x + 3)² + 16y² = 112, luego divides por 112 en todos los términos de la ecuación, simplificamos coeficientes y queda:

(x + 3)²/16 + y²/7 = 1, 

y observa que la ecuación corresponde a una elipse cuyos elementos son:

centro de simetría: C(-3,0),

eje focal cuya ecuación cartesiana es: y = 0,

semieje mayor: a = V(16) = 4,

semieje menor: b = V(7),

semieje focal: c = V(16 - 7) = V(9) = 3.

Luego puedes graficar, podrás ver fácilmente las coordenadas de los vértices y focos.

Espero haberte ayudado.

Observa tu parametrización de la recta r, has designado: z = λ, luego sustituyes en las ecuaciones cartesianas de la recta y quedan:

x - y + λ = 1, haces pasajes de términos y despejas: x + λ - 1 = y (1),

2x + y - λ = 2,

luego sustituyes en la segunda ecuación y queda:

2x + x + λ - 1 - λ = 2, reduces términos semejantes, cancelas términos opuestos, haces pasaje de término, y queda:

3x = 3, divides por 3 en todos los términos de la ecuación y queda:

x = 1,

luego sustituyes en la ecuación señalada (1) y queda:

1 + λ - 1 = y, cancelas términos opuestos y queda:

λ = y,

luego, las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta r quedan:

x = 1 

y = λ

z = λ

con λ ∈ R,

y observa que tenemos que el vector director de la recta r tiene componentes: u = <0,1,1>,

y que el punto de coordenadas A(1,0,0) pertenece a la recta r y, por lo tanto, el punto A(1,0,0) también pertenece al plano que incluye a la recta r.

Luego, observa los denominadores en las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) de la recta s, y tienes que su vector director tiene componentes:

v = <3,2,1>.

Luego, a partir de la condición de paralelismo entre una recta y un plano, observa que tanto el vector u como el vector v son perpendiculares al vector normal al plano que buscamos (n), por lo que planteamos que un vector normal al plano es igual al producto vectorial entre los vectores directores de las rectas:

n = u x v = <0,1,1> x <3,2,1> = <-1,3,-3>.

Luego, como tenemos un punto que pertenece al plano, y tenemos un vector normal al plano, planteamos su ecuación cartesiana implícita:

-1(x - 1) + 3(y - 0) - 3(z - 0) = 0, distribuimos, cancelamos términos nulos, ordenamos términos y llegamos a:

- x + 3y - 3z + 1 = 0, 

que es una ecuación cartesiana implícita del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

Espero haberte ayudado.

Tienes la ecuación:

V(20-x) - V(2x-1) = 2,

observa que los argumentos de las raíces cuadradas deben ser ambos mayores o iguales que cero, por lo que x debe tomar valores pertenecientes al intervalo: [1/2,20],

luego, hacemos pasaje de término y queda:

V(20-x) = 2 + V(2x-1), luego elevamos al cuadrado en ambos miembros y queda:

[ V(20-x) ]² = [ 2 + V(2x-1) ]², simplificamos índice y exponente en el primer miembro, desarrollamos el segundo miembro, y queda:

20 - x = 4 + 4V(2x-1) + [ V(2x-1) ]², simplificamos índice y exponente en el último término de la derecha y queda:

20 - x = 4 + 4V(2x-1) + 2x - 1, hacemos pasajes de términos, reducimos términos semejantes y queda:

-3x + 17 = 4V(2x-1), elevamos al cuadrado en ambos miembros y queda:

[ -3x + 17 ]² = [ 4V(2x-1) ]². desarrollamos el primer miembro, distribuimos el exponente en el segundo miembro, y queda:

9x² - 102x + 289 = 16(2x - 1), distribuimos en el segundo miembro y queda:

9x² - 102x + 289 = 32x - 16, hacemos pasajes de términos, reducimos términos semejantes y queda:

9x² - 134x + 305 = 0, 

observa que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

1) x = ( 134 - V(6976) )/18 = 2,8043... que pertenece al intervalo de validez de la ecuación, y también la verifica;

2) x = ( 134 + V(6976) )/18 = 12,0845... que pertenece al intervalo de validez de la ecuación, pero no la verifica (observa que si reemplazas en el primer miembro y resuelves obtienes -2, que es una solución de la ecuación cuadrática, pero no es solución de la ecuación del enunciado).

Espero haberte ayudado.

El ejercicio e no lo he podido hacer

e) Observa que x no puede tomar el valor -3, y tampoco puede tomar el valor 1.

Luego, haces pasajes de divisores como factores y queda:

(x - 2)(x - 1) = (x+ 1)(x+ 3), distribuyes en ambos miembros y queda:

x² - x - 2x + 2 = x² + 3x + x + 3, reducimos términos lineales en ambos miembros y queda:

x² - 3x + 2 = x² + 4x + 3, hacemos pasajes de términos y queda:

x²  - 3x - x² - 4x = 3 - 2, cancelamos términos opuestos y reducimos términos semejantes en el primer miembro, reducimos términos semejantes en el segundo miembro, y queda:

-7x = 1, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

x = -1/7, que verifica la ecuación del enunciado.

Espero haberte ayudado.

d) (3x)/(4x-1)=2

Pasamos a común denominador y queda: 

(3x)/(4x-1)=[2(4x-1)]/(4x-1)

Eliminamos denominadores y queda:

3x=[2(4x-1)]

Eliminamos paréntesis y corchetes y tenemos:

3x=8x-2

Agrupamos las equis:

2=8x-3x

Resolvemos:

5x=2------>x=2/5

En el a) saca factor común "x" y resuelve la ecuación resultante de tercer grado por Ruffini

En el b) sustituye x²= t y te quedará: t²-15t-16=0...resuelve la ec. se segundo grado en función de t, y cuando tengas sus valores, haces x=√t para obtener los valores de x₁ y x₂

Lo siento pero no entiendo el enunciado que planteas.... aplicando la derivada de una multiplicacion (u'.v+u.v') y también la de la regla de la cadena para poder derivar cosec√x] te quedará que la derivada de x² [cosec√x]^(-1) es igual a 2x. [cosec√x]^(-1) + x². [-cosec√x. cotan√x]. [1/(2√x)]