Hola, ¿
tengo bien este ejercicio de inducción? Gracias
Tienes la proposición: P(n): 7n + 1 es múltiplo de 8, con n ∈ N, n impar.
Observa que podemos enunciarla:
P(m): 72m-1 + 1 = 8t, con m ∈ N, m ≥ 1, con t ∈ Z (t es un número entero que debemos determinar en cada paso de la demostración).
1°) Veamos si se cumple que: P(1): 72*1-1 + 1 = 8t1, con t1 ∈ Z que debemos determinar.
P(1): 72*1-1 + 1 = 72-1 + 1 = 71 + 1 = 7 + 1 = 8 = 8t1, luego planteamos: 8 = 8t1 de donde despejamos: 1 = t1, que pertenece a Z.
2°) P(h): 72h-1 = 8t2, con t2 ∈ Z (Hipótesis Inductiva, por lo que aceptamos que es Verdadera, y que t2 es un número entero).
3°) P(h+1): 72(h+1)-1 + 1 = 8t3, con t3 ∈ Z (Tesis Inductiva, por lo que debemos demostrar que es Verdadera, y también debemos demostrar que t3 es un número entero).
4°) Demostración:
P(h+1): 72(h+1)-1 + 1 = 72h+2-1 + 1 = 7(2h-1)+2 + 1 = 72h-1*72 + 1 =
= (72h-1 + 1 - 1)*72 + 1 = aplicamos la Hipótesis Inductiva:
= (8t2 - 1)*49 + 1 = distribuimos en el primer término:
= 8t2*49 - 49 + 1 = reducimos términos numéricos:
= 8t2*49 - 48 = extraemos factor común:
= 8*(t2*49 - 6) = 8t3,
y observa que t3 = t2*49 - 6 ∈ Z porque es producto y resta entre números enteros (recuerda que t2 es entero por Hipótesis Inductiva).
y observa que t3 = t2*49 - 6 ∈ Z porque es producto y resta entre números enteros (recuerda que t2 es entero por Hipótesis Inductiva).
5°) Conclusión:
P(1) es Verdadera
P(h) → P(h+1) es Verdadera
Luego, por el quinto Axioma de Peano (Axioma de Inducción) tenemos que P(m) es Verdadera, para todo m ∈ N, m ≥ 1.
Espero haberte ayudado.
