Va 

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

w = x⁴ + 2, de donde tienes: dw = 4x³dx, de donde puedes despejar: (1/4)dw = x³dx, luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ x³cos(x⁴ + 2) dx = sustituyes = ∫ cos(w)(1/4)dw = (1/4) sen(w) + C = (1/4) sen(x⁴ + 2) + C.

Espero haberte ayudado.

Primero, observa que podemos escribir en el segundo miembro (entendemos que las matrices son cuadradas, y llamamos I a la matriz identidad):

XA - 2B = XI, hacemos pasajes de términos y queda:

XA - XI = 2B, extraemos factor común izquierdo en el primer miembro y queda:

X(A - I) = 2B, luego tenemos dos opciones:

a) Si la matriz A - I es invertible, multiplicamos por derecha por su inversa en ambos miembros y queda:

X(A - I)(A - I)^-1 = 2B(A - I)^-1, resolvemos el producto de matrices inversas en el primer miembro y queda:

XI = 2B(A - I)^-1, resolvemos el primer miembro y queda:

X = 2B(A - I)^-1.

b) Si la matriz A - I no es invertible, se debe plantear una matriz X con elementos genéricos, efectuar las operaciones y resolver el sistema de ecuaciones que queda al comparar matrices elemento a elemento.

Espero haberte ayudado.

Llamamos x a la longitud del lado más largo del rectángulo, y llamamos y a la longitud del lado más corto.

Luego, tenemos a partir del perímetro: 2x + 2y = 4, dividimos por 2 en todos los términos de la ecuación y queda: x + y = 2 (1).

Luego, observa que agregamos cuatro semicírculos, dos de diámetro x y dos de diámetro y, que que constituyen dos círculos completos, uno de diámetro x y otro de diámetro y, cuyas áreas son: (π/4)x² y (π/4)y² respectivamente.

Luego, el área total queda:

A = xy + (π/4)x² (π/4)y² , luego despejamos y en la ecuación señalada (1), sustituimos y queda:

A(x) = x(2 - x) + (π/4)x² + (π/4)(2 - x)², que es uaa función continua y derivable,

cuyo dominio es el intervalo: D = (0,2).

Luego planteamos la derivada primera:

A ' (x) = 1(2 - x) + x(-1) + (π/2)x + (π/2)(2 - x)(-1) = 2 - x - x + (π/2)x - π + (π/2)x = 

= (2 - π) + (- 2 + π)x.

Luego planteamos la derivada segunda:

A ' ' (x) = - 2 + π ≅ 1,14159 > 0.

Luego planteamos la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

A ' (x) = 0, sustituimos y queda:

(2 - π) + (- 2 + π)x = 0, hacemos pasajes de términos y queda:

(- 2 + π)x = - 2 + π, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

x = (- 2 + π)/(- 2 + π) = 1, evaluamos en la derivada segunda y queda:

A ' ' (1) = -2 + π > 0, por lo que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en el punto crítico, por lo que concluimos que la función presenta un mínimo para x = 1cm, luego reemplazamos y despejamos en la ecuación señalada (1) y queda: y = 1cm (observa que el rectángulo resultó ser un cuadrado).

Luego, evaluamos en la expresión del área y queda:

A = 1*1 + (π/4)*1² + (π/4)*1² = 1 + π/4 + π/4 = 1 + π/2.

Espero haberte ayudado

Revisa las operaciones, Paco:

Observa que los triángulos ACE y BCD son semejantes, por lo que las longitudes de sus lados correspondientes son proporcionales:

|AC|/|BC| = |CE|/|CD| = |AE|/|BD|, reemplazamos a partir del enunciado y queda:

|AC|/|BC| = |CE|/4 = 5/3, luego podemos despejar a partir de la ecuación remarcada:

|CE| = 20/3 (1).

Luego, observa que podemos plantear:

|CE| = |CD| + |DE|, reemplazamos a parir de la igualdad señalada (1) y a partir del enunciado y queda:

20/3 = 4 + |DE|, hacemos pasaje de término y llegamos a:

8/3 = |DE|.

Espero haberte ayudado.

Vas muy bien hasta que llegas a la ecuación:

ln( |2-2p3|^-1/2 ) = ln|x| + C,

luego, como C es una constante arbitraria, la escribimos: C = ln|K|, sustituimos y queda:

ln( |2-2p3|^-1/2 ) = ln|x| + ln|K|, aplicamos la propiedad del logaritmos de un producto en el segundo miembro y queda:

ln( |2-2p3|^-1/2 ) = ln|Kx|, luego comparamos argumentos de los logaritmos y queda:

(2-2p3)^-1/2 = Kx, elevamos a la -2 en ambos miembros y queda (observa que K^-2 = L es otra constante arbitraria):

2 - 2p³ = Lx^-2, y puedes continuar con la tarea y. si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Hola Antonio, ¿es correcto mi solución?

Es necesario estudiarlo en los puntos que no pertenecen al dominio de la función y en los puntos que te dice la función a trozos (0 y 1 en este caso porque el dominio son todos los reales).

Era el 12 creo que te jas pasado al 13 de todas formas se me habia olvidado igualar la derivada primero a 0 para estudiar sus maximos y minimos gracias

El cero también se estudia porque es un punto de corte (cuando x=0, y=0). Recuerda que f(x)=y

El punto de corte concretamente es el origen de coordenadas (0,0), tenemos que estudiarlo porque puede haber cambio de monotonía (de creciente a decreciente o viceversa)

Porque el cero es el punto de corte con el eje x... Si x=0, entonces f(x) es igual a 0..
Y tambien , por supuesto, porque debes derivar e igualar a cero la derivada para obtener los posibles maximos y minimos.. y te sorprenderá el resultado, te sugiero lo intentes..
Echale un vistazo a este video... 

10 números se pueden elegir en 10! formas.

El resto 2 puede ser 10 · 9.

Dividimos entre 2! · 2! porque 2 números se pueden repetir.

Por tanto, las posibilidades:

=81648000 posibilidades