Hola ya escribí antes por este ejercicio pero creo que lo hice mal y me gustaría saber donde esta mi error, feliz navidad a todos :) 
Cuando resuelves la integral entre 0 y t:
∫ ln(m0) dT = ln(m0) ∫ dT = [ ln(m0)*T ] = evalúas = ln(m0)*t - ln(m0)*0 = ln(m0)*t - 0 = ln(m0)*t .
∫ ln(m0 - rT) dT = integras por partes (atención con la integral secundaria) = T*ln(m0 - rT) - ∫ -rT dT /(m0 - rT) (1);
resolvemos la integral secundaria:
∫ -rT dT /(m0 - rT) = sumamos y restamos m0 en el numerador = ∫ ( (m0-rT) - m0 ) dT /(m0 - rT) =
= ∫ dT - ∫ m0 dT /(m0 - rT) = T + (m0/r) ln(m0 - rT),
sustituimos en la expresión señalada (1) y queda:
∫ ln(m0 - rT) dT = [ T*ln(m0 - rT) - T - (m0/r) ln(m0 - rT) ] = evalúas:
= ( t*ln(m0 - rt) - t - (m0/r) ln(m0 - rt) ) - ( 0*ln(m0 - r*0) - 0 - (m0/r) ln(m0 - r*0) ) =
= t*ln(m0 - rt) - t - (m0/r) ln(m0 - rt) + (m0/r) ln(m0).
Luego, la integral del enunciado, evaluada entre 0 y t, queda:
∫ ( ln(m0/(m0-rT) ) dT = ∫ ln(m0) dT - ∫ ln(m0 - rT) dT = ln(m0)*t - t*ln(m0 - rt) + t + (m0/r) ln(m0 - rt) - (m0/r) ln(m0).
Espero haberte ayudado.
