Te ayudo con las curvas.
Para la primera, designamos a su parámetro como t, a fin de no confundirnos con las coordenadas polares, con la que está expresada la ecuación de la segunda curva.
Observa que ambas curvas son circunferencias: la primera es tangente al eje coordenado OY en el origen, y la segunda es tangente al eje coordenado OX en el origen.
Observa que ambas curvas delimitan una región en el primer cuadrante, cuyos vértices son el origen y el punto de coordenadas:
A( 3/4 , 31/2/2 ).
Y observa, para cuando plantees el área de la región delimitada por ambas curvas, que deberás dividirla en dos regiones, separadas por la recta que pasa por el origen y por el punto A, y hacer el cálculo con coordenadas polares (recuerda que el área con coordenadas polares viene dada por la expresión: A = ∫ (1/2)r2dθ, con r expresado como función de θ).
Tienes las curvas cuyas ecuaciones son:
C1 (llamamos t a su parámetro):
x = 1/2 + (1/2)cost, haces pasaje de término y queda: x - 1/2 = (1/2)cost
y = (1/2)sent
elevas al cuadrado en ambas ecuaciones, sumas miembro a miembro y observa que son las ecuaciones cartesianas paramétricas, de una circunferencia
con centro c1(1/2,0) y radio r1 = 1/2, cuya ecuación cartesiana canónica es:
(x - 1/2)2 + y2 = 1/4,
luego desarrollas el binomio al cuadrado, haces pasaje de término, reduces términos semejantes y queda:
x2 + y2 - x = 0 (1).
C2(observa que tenemos su ecuación en coordenadas polares):
r = 31/2senθ, multiplicas por r en ambos miembros y queda:
r2 = 31/2rsenθ, sustituimos (recuerda las relaciones entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas):
x2 + y2 = 31/2y (2),
haces pasaje de término, sumas 3/4 en amos miembros y queda:
(x - 31/2/2)2 + y2 = 3/4,
que es la ecuación de una circunferencia con centro c2( 31/2/2 , 0 ) y radio: r2 = 31/2/2.
Luego, con las ecuaciones señaladas (1) (2) tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que puedes resolver, y verás que sus soluciones son las coordenadas del origen y las coordenadas del punto A.
Queda para que hagas el cálculo del área pedida. Haz el intento, y si te es necesario, no dudes en volver a consultar.
Espero haberte ayudado.