Primero establezcamos las condiciones que cumplen los elementos x que pertenecen al dominio (D) de la función.
Observa que el denominador en el argumento del logaritmos se anula para x = - 1 y para x = 1, por lo que estos dos valores no pertenecen al dominio de la función.
Luego, observa que el numerador (N) de dicha expresión puede factorizarse y queda: N = (x+1)(x+2).
Luego, observa que el denominador de dicha expresión puede factorizarse y queda: D = (x+1)(x-1).
Luego, el argumento del logaritmo queda, luego de simplificar: N/D = (x+2)/(x-1).
Por último, observemos que el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo, por lo que tenemos dos opciones:
a) x+2 > 0 y x-1> 0, que nos conduce al subintervalo: (1,+inf);
b) x+2 < 0 y x-1 < 0, que nos conduce al subintervalo: (-inf,-2).
Luego, el dominio de la función queda: D = (-inf,-2) u (1,+inf).
Luego, a fin de facilitar los cálculos, puedes aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente:
ln(N/D) = ln|N| - ln|D| (observa que los argumentos de los logaritmos los escribimos como valores absolutos), y para la expresión de la función nos queda:
f(x) = ln|x+2| - ln|x-1|, luego, su derivada primera queda:
f ' (x) = 1/(x+2) - 1/(x-1) (observa que los denominadores los escribimos sin valor absoluto), y la derivada segunda queda:
f ' ' (x) = -1/(x+2)^2 + 1/(x-1)^2.
Luego, queda para que analices la existencia de puntos críticos (o singulares) con la condición f ' (x) = 0,
para luego pasar al análisis de los intervalos de crecimiento o decrecimiento,
y la existencia de posibles inflexiones con la condición f ' ' (x) = 0,
para luego pasar al análisis de los intervalos de concavidad o convexidad.
Haz el intento de terminar la tarea y, si te es preciso, puedes volver a consultar.
Espero haberte ayudado.
