a) Observa que para t = 0 corresponde el punto de coordenadas A(-1,0), y para t = 4 corresponde el punto de coordenadas B(11,4).

Luego, despejas t en ambas ecuaciones paramétricas, igualas y queda la ecuación cartesiana:

y = (x - 4)/3, distribuyes el denominador a la derecha:

y = (1/3)x - 4/3, que es la ecuación cartesiana explícita de una recta en el plano,

por lo que concluimos que la trayectoria es un segmento de esta recta, con primer punto A y último punto B.

b) Observa que para t = -3 corresponde el punto de coordenadas A(-15,5), y para t = 3 corresponde el punto de coordenadas B(15,5).

Luego, observa que puedes factorizar la expresión para x:

x = t(t^2 - 4), y luego susituir en ella la expresion para y, y por el momento queda:

x = ty (*).

Luego, observa la expresión para y: su gráfica en un sistema cartesiano t-x es un trazo de parábola, y observa que y toma valores positivos en el intervalo [-3,-2) u (2,3], valores negativos en el intervalo (-2,2), y toma el valor 0 para x = -2 y x = 2. Observa también que para t = -2 corresponde el punto C(0,0), y que para t = 2 también corresponde el punto C(0,0) (observa que la gráfica se corta a sí misma en el punto C(0,0)).

Luego despejamos t en esta expresión y nos queda en dos trozos:

t = +V(y + 4)

t = -V(y + 4)

Luego, sustituimos en la expresión señalada y nos quedan dos trozos:

x = yV(y +4), para los puntos que correspondan al los valores de t del primer intervalo,

x = -yV(y +4), para los puntos que correspondan a los valores de t del segundo intervalo.

Luego observa que si elevamos al cuadrado en ambos miembros, obtenemos una única ecuación:

x^2 = y^2 * (y + 4).

Con respecto a su gráfica, deberás apelar a un programa informático.

c) Observa que para t = 2 corresponde el punto de coordenadas A( 0 ,3V(2) ), y que para t = 4 corresponde el punto de coordenadas B( 2V(2) , 0 ).

Observa también que, de acuerdo con las expresiones paramétricas, tanto x como y toman valores positivos, por lo que la curva se encuentra en el primer cuadrante (*).

Luego, despejamos t en ambas expresiones paramétricas:

t = x^2 / 4 + 2

t = 4 - y^2 / 9

luego igualamos y queda:

x^2 / 4 + 2 = 4 - y^2 / 9

luego hacemos pasajes de términos, reducimos términos numéricos y queda:

x^2 / 4 + y^2 / 9 = 2

luego dividimos por 2 en todos los términos y tenemos:

x^2 / 8 + y^2 / 18 = 1

que es la ecuación cartesiana canónica de una elipse con centro de simetría C(0,0), semieje mayor sobre el eje OY cuya longitud es a = V(18), y semieje menor sobre el eje OX cuya longitud es b = V(8).

Por último, concluimos, a partir de la consideración señalada (*), que la curva es el arco de esta elipse que se encuentra en el primer cuadrante.

Espero haberte ayudado.

Te va el b), miky. Espera un poco por el otro, que es más pesado:

Y ahora, el 1º: ¿Podrías decirme en qué nivel educativo estás y en qué país, por favor?

Es e^x ¿¿??

Te ayudamos, Alex:

No hay diferencia, Keith. Son proposiciones equivalentes. En el fondo, con más o menos concisión, todo se  reduce a una idea muy sencilla:

Un subconjunto U de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial cuando se reproducen en él las propiedades de un espacio vectorial Lo cual viene a decir que: CUALQUIER COMBINACIÓN LINEAL DE ELEMENTOS de U también pertenece a U.

Buena noche. Va la ayuda: 

Mil gracias!!!

Pues te lo explicamos, MATHS:

Te explicamos, Matías: 

gen(u) es la recta vectorial generada por el vector u. Esto es, todos los vectores proporcionales a u.

Muchas gracias Antonio!! Algun dia espero saber todo lo que tu sabes. Saludos!

Ojalá te sirva.

1) Puedes aplicar el Teorema del Resto: R = P(a), cuando el divisor es (x- a), y para este ejercicio tienes:

P(-3): - 3(-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) + 5 = - 5, resolvemos términos:

81 + 9a + 12 + 5 = - 5, hacemos pasajes de términos y resolvemos a la derecha:

9a = -103, hacemos pasaje de factor como divisor:

a = - 103/9.

2) Tenemos, como -2 es raíz de P(x), que el resto es igual a cero, aplicamos el Teorema y tenemos:

P(-2): - 3(-2)^3 + a(-2)^2 -4(-2) + 5 = 0, resolvemos términos:

24 +4a + 8 + 5 = 0, reducimos términos semejantes:

4a + 37 = 0, hacemos pasaje de término, y luego pasaje de factor como divisor y queda:

a = - 37/4.

3) Evaluamos la expresión de P(x):

P(-3): - 3(-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) + 5 = - 1, resolvemos términos:

81 + 9a + 12 + 5 = - 1, hacemos pasajes de términos y resolvemos a la derecha:

9a = - 99, hacemos pasaje de factor como divisor:

a = - 99/9 = -11.

Observa que son tres ejercicios distintos.

Espero haberte ayudado.

Mírate estos vídeos:

Racionalizar:  http://www.unicoos.com/leccion/matematicas/4-eso/numeros-reales/radicales

Teorema del resto:  http://www.unicoos.com/leccion/matematicas/4-eso/polinomios/teorema-del-resto

Teorema del factor: https://www.youtube.com/watch?v=5sK6udxDNWI

o  http://www.ditutor.com/polinomios/teorema_factor.html

Saludos

¿En base 9?.... Lo siento, no entiendo tu duda...