Te va el 2º,, Miquel

Para el primero, ¿has dado la fórmula de Leibniz para la derivada n-ésima de un producto?

Este es el 1º: 

Revisa las operaciones, Miquel. El procedimiento es correcto. Atento a que la variable, en el límite, es"h",

Va 

Si el grado de la x de mayor grado es mayor a 2, te conviene hacerlo con los divisores. Divides los divisores del término libre por los de la x de mayor grado y esos son los posibles raíces racionales.

En este caso el término libre es -60 y el de la x de mayor grado es 1

Entonces divisores de -60: 1,2,3,4,5.... etc (también con negativos)

divisores de la x de mayor grado: 1,-1

Entonces los posibles son: 1/1, 2/1, 3/1.... etc. (también negativos)

Y ahí vas probando con qué números te da 0. En este caso con -5, -4, 3 (obviamente máximo son 3)

Como el grado mayor es 3, si sacas una raíz. Por ej tres. Entonces (x-3) es factor. Divides el polinomio por (x-3) y te queda uno de segundo grado que es más fácil de calcular sus raíces.

No sé si fui claro, ojalá entiendas.

Muchas gracias por responder.  Sabía otros métodos como los de agrupar términos, ecuación bicuadrada, restar o sumar términos... Me he aclarado más con tu respuesta :) 

A ver si te vale, punk:

Ojala te sirva.

Observa que el denominador es factorizable (diferencia de cubos): x^3 - 1 = (x -1)*(x^2 + x + 1),

luego haz el intento con el método de las fracciones parciales y, si te es necesario, puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Recuerda lo órdenes de magnitud: cuando w tiende a +infinito tenemos que lnw << w^p << b^w, con p > 0 y b > 1.

1) Comencemos con la expresión de la función:

f(x) = 2^x - x^2 = 2^x * ( 1 - x^2 / 2^x )

luego, al tomar el límite cuando x tiende a +infinito, aplicamos la propiedad del límite de un producto de funciones y queda:

Lím(x-->+inf) f(x) = Lím(x-->+inf)(2^x) * Lím(x-->+inf)( 1 - x^2 / 2^x ) = +inf,

observa que el primer factor (exponencial con base mayor que 1) tiende a +infinito, y que el segundo factor tiende a 1 (su primer término es constante, y el segundo tiende a cero por órdenes de magnitud).

2) Observa que el argumento del logaritmo es una expresión fraccionaria (llamamos N a su numerador, y D a su denominador).

Veamos el numerador: observa que el argumento del logaritmo es un binomio de grado dos, por lo tanto extraemos factor común x^2 y queda:

N = ln( x^2 * (1 + 1 / x^2 ) ) = aplicamos propiedades de los logaritmos = 2lnx + ln( 1 + 1 / x^2 ).

Luego, vamos a la expresión de la función (observa que D = x), distribuimos el denominador y queda:

f(x) = 2lnx/x + ( ln( 1 + 1 / x^2 ) ) / x.

Luego pasamos al límite, aplicamos la propiedad del límite de una suma de funciones y queda:

Lím(x-->+inf) f(x) = Lím(x-->+inf)( 2 lnx / x ) + Lím(x-->+inf)( ( ln( 1 + 1 / x^2 ) ) / x ) = 0 + 0 = 0,

observa que el primer término tiende a cero por órdenes de magnitud, y que en el segundo término el numerador tiende a cero y el denominador tiende a infinito).

Espero haberte ayudado.

muchas gracias Antonio. Yo lo hice pero no estaba segura y lo tenia bien excepto detalles 

Te ayudamos, Camila: 

(a) Es Falsa, y puedes proponer un contraejemplo: f(x) = 1, g(x) = 2x, h(x) = x^2, luego planteamos ambos miembros de la igualdad por separado:

(h o (f+g))(x) = definición de composición = h( (f+g) )(x) = definición de suma de funciones = h( f(x) + g(x) ) = h(1 + 2x) = (1 + 2x)^2 = 1 + 4x + 4x^2;

( (hof) + (hog) )(x) = definición de suma de funciones = (hof)(x) + (hog)(x) = definición de composición = h( f(x) ) + h( g(x) ) = h(1) + h(2x) = 1^2 + (2x)^2 = 1 + 4x^2;

como los desarrollos nos conducen a expresiones distintas, concluimos que la proposición es falsa.

(b) Es Verdadera, por lo que desarrollamos ambos miembros de la igualdad en forma general:

( (f*g) o h )(x) = definición de composición = (fg)( h(x) ) = definición de función producto = f( h(x) ) * g( h(x) )

( (foh)*(goh) )(x) = definición de función producto = (foh)(x) * (goh)(x) = definición de composición = f( h(x) ) * g( h(x) )

como los desarrollos generales nos conducen a la misma expresión general, concluimos que la proposición es verdadera.

(c) Es Verdadera, por lo que desarrollamos ambos miembros de la igualdad en forma general:

( (f+g) o h )(x) = definición de composición = (f+g)( h(x) ) = definición de función suma de funciones = f( h(x) ) + g( h(x) )

( (f o h) + (g o h) )(x) = definición de función suma = (f o h)(x) + (g o h)(x) = definición de composición = f( h(x) ) + g( h(x) )

comos los desarrollos generales nos conducen a la misma expresión general, concluimos que la proposición de verdadera.

(d) Es Falsa, por lo que puedes proponer un contraejemplo: f(x) = 3, g(x) = 2x, h(x) = x^2, luego planteamos ambos miembros de la igualdad por separado:

( h*(f o g) )(x) = definición de función producto de funciones = h(x) * (f o g)(x) = definición de composición = h(x) * f( g(x) ) = sustituimos expresiones:

= x^2 * f(2x) = sustituimos expresión = x^2 * 3 = 3x^2;

( (h*f) o g )(x) = definición de composición = (h*f)( g(x) ) = definición de función producto de funciones = h( g(x) ) * f( g(x) ) = sustituimos expresiones:

= h(2x) * f(2x) = sustituimos expresiones = (2x)^2 * 3 = 4x^2 * 3 = 12x^2;

como los desarrollos nos conducen a expresiones distintas, concluimos que la proposición es falsa.

Espero haberte ayudado.

Ahora, Marco: