La explicación, Gustavo:

Pon foto dell enunciado original, Deidara.

Vale, Maths:

Muchas gracias. 

El segundo, Keith:

El primero:

Va, Carlos: 

Debes plantear equivalencias lógicas (indicamos pertenece con p, no pertenece con np, conjunción con y, disyunción con o).

x p (A - C) u (B - C) <--> (definición de unión)

<--> x p (A - C) o x p (B - C) <--> (definición de diferencia)

<--> ( (x p A) y (x np C) ) o ( (x p B) y (x np C) ) <--> (factor común)

<-- > ( (x p A) o (x p B) ) y (x np C) <--> (definición de unión)

<--> ( x p (A u B) ) y (x np C) <--> (definición de diferencia)

<--> x p ( (A u B) - C ).

Espero haberte ayudado.

Observa que podemos escribir la proposición en la forma: P(n): n^3 - n = 3t, con t perteneciente a N, luego probaremos por Inducción Completa:

P(0): 0^3 - 0 = 0 = 3*0, es Verdadera.

Hipótesis Inductiva, P(h): h^3 - h = 3*t1, con t1 perteneciente a N, que aceptamos como Verdadera.

Tesis Inductiva, P(h+1): (h+1)^3 - (h+1) = 3*t2, con t2 perteneciente a N, que tenemos que probar que es Verdadera.

Demostración:

(h+1)^3 - (h+1) = desarrollamos y distribuimos = h^3 + 3h^2 + 3h + 1 - h - 1 = reducimos términos semejantes, ordenamos y asociamos términos:

= ( h^3 - h ) + 3h^2 + 3h = aplicamos la Hipótesis Inductiva (observa el agrupamiento de términos).

= 3*t1 + 3h^2 + 3h = extraemos factor común:

= 3*(t1 + h^2 + h) = 3*t2,

observa que t2 pertenece a N por ser el producto de un número natural (3) por la suma de tres números naturales: t1 (de la Hipótesis Inductiva), h^2 y h.

Espero haberte ayudado.

Vas bien en toda tu primera línea, luego, multiplica y divide por cosx, y queda:

I = (1/2) * Integral ( 1 / ( (senx)^2 * (cosx)^2 ) ) * cosx*dx = por identidad trigonométrica =

= (1/2) * Integral ( 1 / ( (senx)^2 * ( 1 - (senx)^2 )) * cosx*dx,

luego puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

w = senx, de donde tienes: dw = cosx*dx, luego sustituyes y queda:

I = (1/2) * Integral ( 1 / ( w^2 * (1 - w^2) ) )* dw,

que puedes resolver con el método de las fracciones parciales. Haz el intento de terminar el ejercicio y, si es preciso, vuelves a consultar.

Espero haberte ayudado.

Ya entonces las rectas tangentes horizontales son cuando la derivada de la funcion es igual a 0. Fijate primero que la funcion en x es una parabola horizontal, entonces creo que su recta tangente nunca será horizontal. La funcion definida para y sería:
y' = 5t^4-8t = 0     t(5t^3-8)=0   t=0 y t=³√(8/5)    en esos puntos la recta tangente es horizontal. No estoy seguro pero creo q sería la respuesta.

Observa que tienes las ecuaciones cartesianas paramétricas de una curva, por lo que podemos plantear:

y ' = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = 0 (observa que nos piden rectas tangentes horizontales.

Luego hacemos pasaje de divisor como factor en la última igualdad de la cadena (observa que debe verificarse que dx/dt sea distinto de cero), resolvemos a la derecha y queda:

dy/dt = 0, derivamos la expresión y, reemplazamos y queda:

5t^4 - 8t = 0, observa que al derivar la expresión x, tenemos la condición: 2t - 4 distinto de cero(*), factorizamos y queda:

t(5t^3 - 8) = 0, que nos conduce a dos opciones:

1) t = 0, que nos conduce al punto de coordenadas P1(-2,-1)

2) t = (3V)(8/5), que puedes reemplazar en las expresiones de x e y para encontrar las coordenadas del punto,

observa que la condición señalada (*) se cumple para ambos valores de t.

Espero haberte ayudado.

Te recomiendo mires los vídeos sobre el tema, ya que en ellos se explica lo que preguntas.