El límite que te queda lo puedes hacer pasando a polares y te va a dar 0.

Pero los dos limites no me quedarán 0 así? Y entonces no se va a cumplir que las derivadas cruzadas de segundo orden sean distintas en el punto (0,0)

Te dan cero las derivadas primeras en (0,0).
Ahora, a partir de las derivadas obtenidas, calculas las derivadas segundas cruzadas.

Está bien

Puedes simplificar un poco mas

Progresiones

Hola Mila.
Para empezar veamos que datos tenemos y que nos piden.
Sean A el área, h la altura y b la base correspondientes a un triangulo, entonces tenemos que
dA/dt=2;
dh/dt=1;
A=bh/2.
Nos piden hallar db/dt, donde t es el tiempo.
Si despejamos b de la formula de area tenemos:
b=2A/h.
Ahora derivamos implicitamente.
db/dt = ([2A]'*h-[h]'*2A)/h² = (2*(dA/dt)*h-(dh/dt)*2A)/h² = (2h[dA/dt]-2A[dh/dt])/h².
En esta expresion podemos ver que podemos reemplazar 2 terminos: dA/dt y dh/dt por los valores que nos dan. Entonces:
db/dt = (2h[dA/dt]-2A[dh/dt])/h² = (2h*2-2A*1)/h² = (4h-2A)/h²
Ahora simplemete reemplazamos los valores de h y de A por los que nos dan. A=100cm² y h=10m. Notemos que h esta expresada en metros y hasta ahora todas las variaciones las tomamos en cm, por lo haremos h=1000cm
Entonces:
db/dt = (4h-2A)/h² = (4*1000-2*100)/1000² = 3800/1000000 = 19/5000
Por lo que la velocidad con la que varia b es 19/5000 cm/min
Espero que te haya servido.
Saludos.

ok y si fuera h=10 cm entonces seria (4*10-2*100)/(10)* por lo que la respuesta daria -8/5 cierto? no importa si fuera negativo?

No. No importaría si la velocidad fuese negativa. Significaría que la base esta disminuyendo.

Para ver mejor esto supongamos que h es 10 y A es 100. Si volvemos 9 minutos en el tiempo(?) h seria 1 y A 82. Entonces, por la formula de área la base seria 164. Si adelantamos un minuto, h seria 2 y A 84 entonces b seria 84. Aquí vemos que la base ha disminuido.
Veamos el caso para h=10, y veamos los laterales, o sea h=9 y h=11.

Si h=9, A=98 entonces b=21,7^, si h=10, A=100 entonces b=20, si h=11, A=102 entonces b=18.54^. Aquí se ve que la base va disminuyendo.

Si vamos al caso h=1000 y vemos los laterales tenemos que si h=999, A=98 entonces b=0.196^. Si h=1000, A=100 entonces b=0.2 y si h=1001, A=102 entonces b=0.2037.... Aquí vemos que la base va creciendo, por lo que está bien que nos haya dado una velocidad positiva.

Cualquier otra consulta no duden en preguntar.

Hola Sharon.
Tengo algunas sugerencias para evitar confusiones.
La primera es el uso de paréntesis. Supongo que usas ":" como símbolo de cociente pero no se hasta donde va el divisor.
La segunda es escribir las raíces como potencias. Por ejemplo, en vez de escribir ^5√2 escribir 2^(1/5)
La tercera es que debes ser especifica con lo que te tenemos que ayudar.
Saludos.

Hola Ernesto.
Debes calcular h+2*(2/3)h+2*(2/3)*(2/3)(h)+2*(2/3)*(2/3)*(2/3)(h)+... = h+2*(2/3)h+2*(2/3)^(2)*(h)+2*(2/3)^(3)(h)+...
Esto es como tener:
h+Sum_{t=1}^{∞}[2*(2/3)^(t)*(h)]; (Esta notación representa la sumatoria de t=1 hasta infinito) tanto el 2 como la h la podemos sacar de la sumatoria, así quedaría
h+(2h)*Sum_{t=1}^{∞}[(2/3)^(t)]
Aquí tenemos la serie geométrica Sum_{t=1}^{∞}[(2/3)^(t)]. Sabemos que Sum_{t=0}^{∞}[(2/3)^(t)] = 1/(1-2/3) = 3. Pero t=0 no es un valor que nos interese, así que lo quitamos. De esta forma tenemos que Sum_{t=1}^{∞}[(2/3)^(t)] = 2
Entonces, la distancia que recorre esta dada por la formula h+(2h)*2 = h+4h = 5h.
Espero que te haya servido.
Saludos.

Muchas gracias hermano, genial la explicacion !!!
Por cierto, si quiero saber la suma de cualquier serie , basta con hacer el limite de la funcion?
Saludos!!!!

De nada colega. Para eso estamos :).

No. Lo que dices esta mal. Lo mas parecido a lo que dices es el criterio de la integral, que dice que si la integral con los mismos extremos converge entonces la serie también lo hará. En general ver a donde converge una serie es mucho mas complejo.

Si haces el limite de la función en el infinito solo estarías calculando que valores toman los sumandos de la serie en infinito.

Esta serie la podemos calcular porque es una serie geométrica y estas convergen a Sum_{t=0}^{∞}(r^(t)) = 1/(1-r) , donde ADEMAS r debe cumplir |r|

Muchisimas gracias de nuevo
Mira, tengo este ejercicio Sum_ 1/(n)^1/2 desde n=1 hasta el infinito y otro ejercicio que dice Sum_ 1/(n+1)^1/2
Para hallar la suma de dicha serie, debo hacer el limite cierto?
Con una explicacion a estos ejemplos creo que ya la tendre mas claro
Saludos

El caso que planteas tiene una particularidad.
Estas series son conocidas como series p. Son series p aquellas que son de la forma Sum_{n=1}^{∞}[1/(n)^p]
Si p>1, la serie converge, en caso contrario, la serie diverge.
En el ejemplo que planteas p=(1/2), por lo que ambas series divergen y su suma lo hará también
Aquí tienes algo sobre series p https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_arm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica)#p-series.
Cualquier otra consulta no dudes en preguntar.
Saludos.

Buena aclaracion, yo no tengo problema en distinguir si una serie es divergente o convergente, mas bien mi problema es determinar la suma de las series
En este caso, haciendo limite cuando n tiende a infinito me sale en ambas series, que su suma vale 0
Estoy en lo correcto¿?
Saludos :D

No Ernesto. Como ya te mencioné esto no es así. Lo que haces es el limite de la función, no de las series.
Determinar la suma de series sin criterios es mas complejo. En tal caso, con el limite solo ves a donde va la función en infinito, no la serie.
Se entiende?

La verdad estoy confundido :(
el planteamiento de mi problema dice:
Halla la suma de las siguiente serie
Sumatoria de 1/n^1/2
Como hallo el valor de la suma? eso es lo que no me queda claro :(

Mmmm, Es 1/√n, no? En tal caso la serie diverge. No existe.

Diverge? Pero el criterio del termino enesimo me dice que si una sumatoria de series es convergente, entonces el limite vale 0 , y 1/√n seria 1/infinito=0
No?
Saludos bro

Lo que dices es correcto. Pero lo mal interpretas. Mira bien:
Si converge ENTONCES el límite es 0.
Lo que tu me quieres plantear es:
Si el límite es 0 ENTONCES converge.
Las proposiciones son distintas.
Se entiende?

Gracias por la paciencia hermano, lo he entendido gracias a ti
Saludos y exitos en todo !

De nada muchacho. Igualmente.

Hola Hugo.
Empecemos escribiendo esto de otra forma. La raíz n-esima de una función es como tener la función elevado al reciproco de n.
Entonces 8√(-2x)-16 es igual a 8(-2x)^(1/2)-16
Derivemos esto.
[8(-2x)^(1/2)-16]' = [8(-2x)^(1/2)]'-[16]' = [8(-2x)^(1/2)]'-0 = [8(-2x)^(1/2)]'
Para derivar esto apliquemos regla del producto. Entonces:
[8(-2x)^(1/2)]' = [8]'*(-2x)^(1/2)+[(-2x)^(1/2)]'*8 = 0+8[(-2x)^(1/2)]' = 8[(-2x)^(1/2)]'
Para derivar este ultimo factor haremos regla de la cadena.
8((1/2)(-2x)^((1/2)-1))*[-2x]'=8((-2/2)*(-2x)^(-1/2))) = -8*1/√(-2x) =-8/√(-2x)
Entonces f'(x)=-8/√(-2x)
Espero que te haya servido
Saludos.

Hola Cesar.
Te ayudo. Lo primero que debes ver es el radio (o la apotema, el que elijas va a depender de como seguir) del hexágono (prueba con el teorema del seno)
Supongamos que elegimos el radio y es r. Por por propiedad de la paralela media, el hexágono que queda delimitado al cortar la pirámide a la mitad (base de la pirámide mas chica) tiene por radio (o apotema, dependiendo de lo que escogiste) la mitad del radio del hexágono mayor.
Con estos dos datos ya esta casi resuelto.
Con r y h calculas el volumen de la pirámide mayor, y con r/2 (por paralela media) y h/2 (por hipótesis) calculas el volumen de la pirámide chica.
Para calcular la parte de abajo resta el volumen mayor con el menor.
Si tienes alguna duda especifica no dudes en preguntar.
Saludos.

Hola ALIEN.
Lo primero que debes ver es la pendiente de la recta que determinan los dos últimos puntos. Esto seria Δy/Δx=(1-0)/(e+1-2)=1/(e-1)
Entonces ahora tienes que ver para que x se verifica que f'(x)=1/(e-1)
f'(x)=1/(x-1)=1/(e-1)→x-1=e-1→x=e. O sea, se verifica en el punto (e, ln(e-1))
Ahora, para finalizar, tenemos que encontrar la ecuación de la recta que tiene pendiente 1/(e-1) y que pasa por (e, ln(e-1)).
La ecuación de una recta dado un punto y la pendiente es (y-y_0)=(x-x_0)m
Reemplazando tenemos:
y-ln(e-1)=(x-e)1/(e-1)
y=(x-e)/(e-1)+ln(e-1)
Esta es la solución. Si quieres la puedes simplificar mas.
Espero que te haya servido.
Saludos.

Hola!
Que yo sepa hay dos formas de hacerlo: 1a-método de prueba y error (un poco lioso, al menos para mí) y 2a-método de agrupación (es el que siempre intento utilizar). Se hace así:
1) Se buscan dos números que multiplicados den "ac" ( en este caso, 2 por 2 es decir 4) y que sumados den "b", es decir, 5. Es fácil llegar a la conclusión de que esos números son 4 y 1
2) Una vez los tienes pones el término central en función de esos números es decir, como 4ab+(1)ab
3) Luego factorizas por agrupación (normalmente consiste en factorizar lo común de los dos primeros sumandos entre sí y de los dos segundos entre sí, de forma que te queda un factor binomial común que puedes factorizar; te queda: 2a² + 4ab + ab + 2b² = 2a (a+2b) + b(a+2b) = (2a+b)(a+2b)
Espero te sirva! ;)