Recuerda el límite trascendente:

Lím(u→0) sen(u)/u = 1, y observa que tanto el numerador como el denominador tienden a cero.

Luego, puedes plantear las expresiones de las funciones:

f(x) = e*sen(x),

g(x) = x;

y luego plantear el límite:

Lím(x→0) f(x)/g(x) = Lím(x→0) e*sen(x)/x = e * Lím(x→0) sen(x)/x = e * 1 = e,

y observa que los límites laterales para x tendiendo a cero de f(x)/g(x) también son iguales a e.

Por lo tanto, tienes dos funciones que cumplen las condiciones de tu enunciado, por lo que tienes demostrada su existencia.

Espero haberte ayudado.

entonces no existe ningun contraejemplo? es que siempre me piden tratar de encontrar un falso. :(

En este caso, observa que te piden estudiar si existen dos funciones que cumplan las condiciones del enunciado, y hemos planteado un ejemplo válido, por lo que tienes que la proposición de tu enunciado es Verdadera.

Elevas al cuadrado en ambos miembros, cancelas índice y exponente en el primer miembro, resuelves el segundo miembro, y queda:

x + √(x + 8) = 4, haces pasaje de término, y queda:

√(x + 8) = 4 - x, elevas al cuadrado en ambos miembros, cancelas índice y exponente en el primer miembro, y queda:

x + 8 = (4 - x)², desarrollas el binomio elevado al cuadrado, y queda:

x + 8 = 16 - 8*x + x², haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

-x² + 9*x - 8 = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por -1, y queda:

x² - 9*x + 8 = 0, 

que es una eccuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

a) 

x = 1, que puedes verificar es una solución válida de la ecuación de tu enunciado;

b)

x = 8, que puedes verificar que no es una solución válida para la ecuación de tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Si lo llamamos α, su vector normal será perpendicular al de π y al de la recta. Se halla el producto vectorial de los dos vectores y da n=(5,1,-4), por tanto la ecuación de α:5x+y-4z+D=0

y si la distancia es √42, despejando |D|= 42

5x+y-4z±42=0

Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal de éste es paralelo al primero.

Pero si hay dos soluciones, quiere decir que la recta pasa por dos puntos de la elipse, y no sería tangente no?

Hay DOS posibles rectas tangentes:

Elevas el paréntesis al cuadrado y sacas factor común el cuadrado del módulo de v.

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

1ª iteración----> Quitamos 1 segmento de longitud 1/3        

2ª iteración----> Quitamos 2 segmentos de longitud 1/9    

3ª iteración----> Quitamos 4 segmentos de longitud 1/27    

4ª iteración----> Quitamos 8 segmentos de longitud 1/81

.

.

En la enésima iteración habremos eliminado 2^n-1 segmentos de longitud 1/3ⁿ 

Entonces planteamos el siguiente límite para resolver lo que creo que preguntas:

^infinito∑_n=1 2^n-1*(1/(3ⁿ)) =

^infinito∑_n=1 (2ⁿ/2)*(1/(3ⁿ)) =

^infinito∑_n=1 1/2*(2ⁿ/3ⁿ)) = 

1/2*  ^infinito∑_n=1 (2ⁿ/3ⁿ)) = 

1/2 * ((2/3)/(1 -2/3)) =

1/2 * ((2/3)/(1/3)) =

1/2 * ((2*3)/(3*1)) =

1/2 * 6/3 =

6/6 = 

1 

El segundo plano te lo dan  en forma paramétrica.

si está correcto, quizas  un poco mas corto asi