Si nos rediriges a un link con información acerca del "Teorema de las disensiones", quizá podamos ayudarte. Yo no he encontrado nada respecto a este tema.

No, Mathías. Esto sucede solamente cuando la transformación lineal va de un espacio en otro de la misma dimensión ( o en el mismo espacio, y se trata de un endomorfismo).

Si dim(E)=n  y  dim (F)=m

n>m obliga a que no sea inyectiva.

n<m obliga a que no sea sobreyectiva.

Para Ángel:

 "Teorema de las diSensiones"   ≠   TEOREMA (de las diMensiones)

Plantea la ecuación explícita de la primera recta, para ellos haces pasaje de término, y queda:

8y = -5x + 13, luego divides por 8 en todos los términos de la ecuación, y queda: y = -(5/8)x + 13/8,

y observa que su pendiente es: m = -5/8.

Luego, tienes que el punto indicado pertenece a la recta cuya ecuación es y = x, por lo que sus coordenadas son: (x₀,x₀).

Luego, tienes que la pendiente de la recta buscada, que es perpendicular a la primera recta queda: M = -1/m = -1/(-5/8) = 8/5.

Luego, planteas la expresión de la ecuación punto-pendiente de la recta buscada y queda:

y = M*(x - x₀) + x₀, reemplazas el valor de la pendiente, y queda:

y = (8/5)*(x - x₀) + x₀, distribuyes el primer término, reduces términos semejantes, y queda:

y = (8/5)x - (3/5)x₀,

que es la ecuación de un conjunto de rectas que cumplen las condiciones que tienes en tu enunciado.

Espero haberte ayudado.

Fijate las propiedades de potencia:

https://www.vitutor.net/1/potencias.html

Usando esas cosas, sacas factor común, pon las potencias de un lado y el resto del otro y aplica la definición de logaritmo.

en donde dice 4^x tené en cuenta que lo podés escribir como (2^2)^x

En el 1, sacas como factor común el 3^x y te queda el 3^x(3^2 +1), dejas el que está con la potencia de un lado y lo que son solo números del otro. Ahí aplicas la definición de logaritmo. El 2do es igual

2)

7x-1-2x= 0

7x-1=  2x

ln(7x-1) = ln(2x)

(x-1)*ln7 = ln(2x)

ln7*x-ln7 =  x*ln2

ln7*x- x*ln2 =  ln7

x= (ln7)/(ln7-ln2)

x= (ln7)/(ln(7/2))

Pon foto del enunciado original.

Has puesto las posibles soluciones, no el enunciado.

Muchísimas gracias! Me ha quedado más claro.

 Pero, ¿la forma implícita de F(xyz)=0 no es z= f(xy)?

esa es explícita.

Son ejercicios en los que has de aplicar cambio de variable y la fórmula para ecuaciones de segundo grado.

a)

Cambio de variable t=2^x

t²-7t-8 = 0 

Aplicas la fórmula y obtienes:

t1= -1

t2= 8

Deshacemos cambio de variable:

t1= -1 = 2^x   -----> No existe solución en ℛ

t2= 8 = 2^x   -----> x=3

b)

7^x-1-2^x= 0

7^x-1=  2^x

ln(7^x-1) = ln(2^x)

(x-1)*ln7 = ln(2^x)

ln7*x-ln7 =  x*ln2

ln7*x- x*ln2 =  ln7

x= (ln7)/(ln7-ln2)

x= (ln7)/(ln(7/2))

c)     

Se hace igual que el a) y obtienes como solución no válida x= -7/2  y la válida x=2

d)

Deshacemos cambio de variable:

t1= -1 = 2^x   -----> No existe solución en ℛ

t2= 8 = 2^x   -----> x=3

Y eso como se hace? de donde sale el x=3?

t1= -1 = 2x   -----> Como no hay ningún número en los reales que, con base 2, pueda dar de resultado -1, entonces No existe solución en ℛ

Ten en cuenta que 2³=8 ...

t2= 8 = 2x   -----> t2= 2³ = 2^x   ----->  x=3

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https://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/ecuaciones-y-sistemas/ecuaciones-exponenciales-y-logaritmicas/ecuacion-exponencial-de-segundo-grado