- Si son tangentes si se cortan en un punto

y = a sen x + b cos 2x

y = 3/ 2 en x = π / 6 

a sen ( π / 6) + b cos 2 (π / 6) =3/ 2 => a (1/2) + b (1/ 2) =3/ 2  =>a+b=3

- Además sabemos que la pendiente de la recta coincide con y'(π/6)

y = a sen x + b cos 2x

y' = a cos x - 2b sen 2x

y'(π/6)=0 => a cos π/6 = 2b sen 2(π/6)  => a cos π/6 = 2b sen 2(π/6) => a=2b

- Por lo tanto: a+b=3 ^ a=2b => a=2 ^ b=1

Le voy a colaborar con el  " a " , el otro es similar es una ecuación del mismo tipo y se procede de forma análoga .
voy a considerar 3 métodos (el tercero lo dejo enunciado) , recomiendo el primero en el que se obtiene un factor integrante (método 1)
Método 1 :

Método 2

Método 3 , fórmula : 
Imagen obtenida de https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node9.html

donde además puedes ver la demostración . Cuestión de reemplazar y operar , las integrales son sencillas .

Tienes la función con dominio R, cuya expresión es:

f(x) =

2x*sen(1/x) - cos(1/x)            si x ≠ 0

0                                               si x = 0.

Luego, observa que es continua en R - {0}, y que tiene un punto notable para estudiar con la definición de continuidad, que es x = 0:

1°)

f(0) = 0;

2°)

observa que planteamos la sustitución (cambio de variable): x = 1/u, y que estudiamos los límites laterales:

Lím(x→0-) f(x) = Lím(u→-∞) (2*senu/u - cosu) = no existe,

Lím(x→0+) f(x) = Lím(u→+∞) (2*senu/u - cosu/u) = no existe,

por lo que tienes:

Lím(x→0) f(x) = no existe;

3°)

tienes que la función f no es continua en x = 0, ya que tienes:

f(0) = 0 y Lím(x→0) f(x) = no existe.

Luego, observa la siguiente expresión:

F(x) = x²*sen(1/x),

que corresponde a una función cuyo dominio es: D = R - {0};

y observa que la expresión de su función derivada queda:

F ' (x) = 2x*sen(1/x) + x²*cos(1/x)*(-1/x²),

resuelves el segundo término, y queda:

F ' (x) = 2x*sen(1/x) - cos(1/x),

y observa que la función derivada está definida en todo el dominio de la función.

Luego, observa que la función F tiene límite para x tendiendo a cero:

Lím(x→0) F(x) = Lím(x→0) x²*sen(1/x) = 0,

ya que tienes un producto entre una función que tiende a cero y una función acotada entre -1 y 1.

Luego, puedes definir a la función primitiva de la función cuya expresión tienes en tu enunciado, en la forma:

F₁(x) =

x²*sen(1/x)                 si x ≠ 0

0                                   si x = 0,

cuyo dominio es: D = R;

y cuya función derivada queda:

F₁' (x) =

2x*sen(1/x) - cos(1/x)            si x ≠ 0,

no está definida                     si x = 0;

y observa que las expresiones de las funciones F₁' y f(x) son iguales.
Espero haberte ayudado.

Plantea las derivadas sucesivas de la función:

f⁽⁰⁾(x) = x*e^1-x, que evaluada en el centro de desarrollo queda: f⁽⁰⁾(1) = 1, y su coeficiente queda: a₀ = f⁽⁰⁾(1)/0! = 1/1 = 1;

f⁽¹⁾(x) = e^1-x - x*e^1-x, que evaluada en el centro de desarrollo queda: f⁽¹⁾(1) = 0, y su coeficiente queda: a₁ = f⁽¹⁾(1)/1! = 0/1 = 0;

f⁽²⁾(x) = -2*e^1-x + x*e^1-x, que evaluada en el centro de desarrollo queda: f⁽²⁾(1) = -1, y su coeficiente queda: a₂ = f⁽²⁾(2)/2! = -1/2;

f⁽³⁾(x) = 3*e^1-x - x*e^1-x, que evaluada en el centro de desarrollo queda: f⁽³⁾(1) = 2, y su coeficiente queda: a₃ = f⁽³⁾(2)/3! = 2/6 = 1/3;

f⁽⁴⁾(x) = -4*e^1-x + x*e^1-x, que evaluada en el centro de desarrollo queda: f⁽⁴⁾(1) = -3, y su coeficiente queda: a₄ = f⁽⁴⁾(1)/4! = -3/24 = -1/8;

y para el error plantea:

f⁽⁵⁾(x) = 5*e^1-x - x*e^1-x, que evaluada en un valor genérico queda: f⁽⁵⁾(z) = 5*e^1-z - z*e^1-z = (5 - z)*e^1-z,

y su coeficiente queda: a₅(z) = (5 - z)*e^1-z/5! = (5 - z)*e^1-z/120, con z comprendido entre 1 y x.

a)

Plantea la expresión del Polinomio de Taylor de orden 4:

P₄(x) = a₀ + a₁*(x - 1) + a₂*(x - 1)² + a₃*(x - 1)³ + a₄*(x - 1)⁴,

reemplazas coeficientes, cancelas el término nulo, y queda:

P₄(x) = 1 - (1/2)*(x - 1)² + (1/3)*(x - 1)³ - (1/8)*(x - 1)⁴.

b)

Observa que debes aproximar el valor de √(e) = e^1/2 = 1*e^1-1/2 = 2*(1/2)*e^1-1/2:

por lo que puedes plantear (observa los factores remarcados), que el punto de desarrollo es: x = 1/2:

√(e) ≅ 2*( P₄(1/2) + R₄(1/2) ) = 2*P₄(1/2) + 2*R₄(1/2);

luego, reemplazas la expresión evaluada del Polinomio de Taylor, y queda:

√(e) ≅ 2*( 1 - 1/8 - 1/24 - 1/128) = 2*(317)/384 = 317/192 ≅ 1,651041667,

y observa que la calculadora indica: √(e) ≅ 1,648721271, por lo que el error queda: ε ≅ 0,002320396.

Luego, planteas la expresión del error, sustituyes la expresión del resto de Lagrange en ella, y queda:

ε = 2*R₄(x) = 2*a₅(z)*(x - 1)⁵; evalúas para el punto de desarrollo, y queda:

ε = 2*a₅(z)*(1/2 - 1)⁵ = 2*a₅(z)*(-1/32), resuelves productos entre números, y queda:

ε = -(1/16)*a₅(z), sustituyes la expresión del coeficiente, y queda:

ε = -(1/16)*(5 - z)*e^1-z/120, resuelves la división entre números, y queda:

ε = -(1/1920)*(5 - z)*e^1-z, con 1/2 ≤ z ≤ 1,

que es la expresión del error cometido al aproximar el valor de la función con el Polinomio de Taylor de orden 4.

Luego, plantea la estimación del error:

ε ≤ |ε| = (1/1920)*(5 - z)*e^1-z ≤ observa que la expresión toma su valor máximo para z = 1/2 ≤ (1/1920)*(5 - 1/2)*e^1-1/2 =

= (1/1920)*(9/2)*e^1/2 = (3/1280)*e^1/2 ≤ observa que e es menor que 4 ≤ (3/1280)*4^1/2 = (3/1280)*2 = 3/640 = 0,0046875,

que es una cota del error cometido (observa que es mayor que el error que obtuvimos al emplear la calculadora).

Espero haberte ayudado.

Perdón. He tomado los datos erroneos. Donde figuraba en el determinante (x+1), puse (x-1).

Rectificando el dato, los resultados son idénticos a los de Antonio Benito:

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Está bien hecho!!!!!!

De acuerdo con Antonio, está bien...!!!

Buenos días, muchas gracias pero esos datos ya los tengo, me harían falta los del triángulo de 70º

sustituyendo la x por 2, en el ejercicio a la solución sería 0, en el resto te saldrá la indeterminación 0/0 que tendrás que resolver descomponiendo ambos polinomios (numerador y denominador), tachando, a continuación, el factor(x-2) común en ambos y, por último, sustituyendo la x por 2.