Puedes comenzar por extraer denominador común en la expresión que tienes como argumento del límite:

f(x) = [ (3x³-6x+4)*x - (2x²+7)*(x²+5) ] / (x²+5)*x;

luego, distribuyes en el numerador, y queda:

f(x) = [ 3x⁴-6x²+4x - 2x⁴-10x²-7x²-35 ] / (x²+5)*x;

luego, reduces términos semejantes en el numerador, distribuyes en el denominador, y queda:

f(x) = [ x⁴ - 23x³ + 4x - 35 ] / [ x³ + 5x ];

extraes factores comunes con los mayores exponentes en el numerador y en el denominador, y queda:

f(x) = x⁴*[ 1 - 23/x + 4/x³ - 35/x⁴ ] / x³*[ 1 + 5/x² ];

luego, simplificas, y queda:

f(x) = x*[ 1 - 23/x + 4/x³ - 35/x⁴ ] / [ 1 + 5/x² ];

luego, planteas el límite:

a)

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) x*[ 1 - 23/x + 4/x³ - 35/x⁴ ] / [ 1 + 5/x² ] = -∞,

ya que el primer factor del numerador tiende a -∞, el segundo factor tiende a 1,

y el denominador tiende a 1;

b)

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) x*[ 1 - 23/x + 4/x³ - 35/x⁴ ] / [ 1 + 5/x² ] = +∞,

ya que el primer factor del numerador tiende a +∞, el segundo factor tiende a 1, 

y el denominador tiende a 1.

Espero haberte ayudado.

Observa que puedes operar en la expresión de la función que debes integrar, y queda:

f(x) = (x-3) / (x+1) = ( (x+1) - 4 )/(x+1)  = (x+1)/(x+1) - 4/(x+1) = 1 - 4/(x+1).

Luego, planteas la integral, y tienes:

I = ∫ ( (x-3)/(x+1) )*dx = sustituyes = ∫ ( 1 - 4/(x+1) )*dx,

aquí separas en términos, extraes el factor constante en el segundo término, y queda:

I = ∫ 1*dx - 4 * ∫ ( 1/(x+1) )*dx;

luego, integras, y queda:

I = x - 4*ln|x+1| + C.

Espero haberte ayudado.

x - 3 = x + 1 - 4 ==> (x-3) / (x+1) = [ x + 1 - 4  ] / (x+1) = 1 - [ 4 /(x+1)]
integrar eso es elemental : x - 4*ln |x+1|+ C

Primero observa que cada trozo es  continuo en su respectivo dominio ya que son polinomios.
Dado ello lo que se debe analizar es la continuidad en los puntos en donde se cambia de regla de correspondencia .
Considerar 3  condiciones para la continuidad en x=a
 1)  a pertenece al dominio de la función.
 2) Existe el límite cuando x--> a  esto implica que los límites laterales son iguales
 3) El límite cuando x-->a es L , se debe cumplir f(a) = L

En x = -1  : 
-1 no pertenece al dominio de la función por lo tanto no es continua allí. Fin

En x=1 : 
*  1 sí pertenece al dominio de la función .
*  Ahora se calcula el límite en x=1 , se analizan los límites laterales.
    Por la  izquierda  :  L1 = 2-1 = 1 ,  (se usa la regla de correspondencia f(x) = 2- x )
    Por la derecha : L2 = 5  , ( Se usa la regla de correspondencia f(x) = 5  )
    Dado que los límites laterales son diferentes se concluye que el límite no existe . por lo tanto no es continua en x = 1 . Fin

Conclusión continua en todos los reales excepto x = { - 1 , 1 }

Porque x= -1 no pertenece al dominio de la función?? Yo con x= -1 saque los limites laterales y me dio que si es continua

El dominio de una función a trozos es la unión de dominios de cada trozo , obviamente si une va observar que x=-1 no pertenece al dominio .
O más sencillo vea que un trozo se define para x < -1 , otro para x > - 1  , ningún trozo se define para x = -1
En lo que respecta a continuidad usted debe revisar la teoría de manera urgente !!  . Me he tomado el trabajo de escribir  para que una función sea continua se debe cumplir 3 condiciones suficientes y necesarias , tómese el trabajo de leer y comparar con su teoría .
Muchos piensan que continuidad significa ver los límites laterales únicamente , pues no es así ya que eso es sólo UNA condición de TRES condiciones necesarias. La teoría es muy muy muy importante en matemáticas.

El valor de k= -7

Carlos, tu resultado es incorrecto.

Tienes el polinomio:

P(x) = k*x⁴ + 6*x² - 1, que debe ser divisible por el binomio (x+1), cuya raíz es: a = -1.

Luego, plantea la condición de divisibilidad (el resto de la división debe ser igual a cero)

R = 0, aplicas el Teorema del Resto, y tienes:

P(a) = 0, reemplazas el valor a evaluar en el primer miembro, y queda:

P(-1) = 0, sustituyes la expresión del polinomio evaluado en el primer miembro, y queda:

k*(-1)⁴ + 6*(-1)² - 1 = 0, resuelves en los dos primeros términos, y queda:

k + 6 = 1, haces pasaje de término, y queda:

k = -5;

luego, la expresión del polinomio queda:

P(x) = -5*x⁴ + 6*x² - 1.

Espero haberte ayudado.

Perdón, me equivoqué yo.

En x=2 es continua . Ya que cumple 3 condiciones :
 1)  2 pertenece al dominio de la función.
 2) Existe el límite cuando x--> 2  que es L=4
 3) El límite cuando x--> 2 es L=4 , se debe cumplir f(2) = L = 4 , esto último es cierto

En x = 0 
los límites laterales existen pero son diferentes , es una discontinuidad  esencial o no evitable , específicamente de primera especie y salto finito .

No puedes "invertarte" funciones, sólo constantes.

Observa que puedes operar en el argumento de la integral:

tan⁴x + tan²x = extraes factor común = tan²x*(tan²x+1) = aplicas identidad trigonométrica = tan²x*sec²x;

luego, la integral de tu enunciado queda:

I = ∫ (tan⁴x + tan²x)*dx = sustituyes = ∫ tan²x*sec²x*dx;

aquí, plantea la sustitución (cambio de variable):

w = tanx, de donde tienes: dw = sec²x*dx;

luego, sustituyes, y la integral queda:

I = ∫ w²*dw = resuelves = (1/3)*w³ + C = sustituyes = (1/3)*tan³x + C.

Espero haberte ayudado.

Observa que puedes plantear la sustitución (cambio de variable):

w = arcsenx, de donde tienes: dw = ( 1/√(1-x²) )*dx;

luego, sustituyes, y la integral de tu enunciado queda:

I = ∫ ( arcsen²x/√(1-x²) )*dx = sustituyes = ∫ w²*dw = resuelves:

= (1/3)*w³ + C = sustituyes = (1/3)*arcsen³x + C.

Espero haberte ayudado.

Después de aplicar la propiedad pitagórica, esa integral se parte en 2:

∫1/cos²(x)dx - ∫cos²(x)/cos²(x)dx

Debes corregir:

Observa que operas en el argumento de la integral:

tan²x = sen²x/cos²x = (1-cos²x)/cos²x = distribuyes el denominador = 1/cos²x - cos²x/cos²x = 1/cos²x - 1;

luego, la integral de tu enunciado queda:

I = ∫ tan²x*dx = sustituyes = ∫ (1/cos²x - 1)*dx = integras = tanx - x + C.

Espero haberte ayudado.