por un lado 8 : 2(2+2) = 8 : 2 * 4 = 4 *4 = 16

y por otro

                           8               8              8

8 : [2(2+2)] = ________ = _______= _______ = 1

                       2(2+2)        2 * 4          8

Observa que al ser ADEF  un cuadrado,entonces el angulo EFD es de 90°,entonces los angulos EFB y DFC deben de sumar 90°,asi,como la suma de los angulos del triangulo BEF debe ser 90°,debe de ocurrir que el angulo EBF=DFC y razonando analogamente para el triangulo DFC se tiene que el angulo DFC=DCF

Ahora bien,como los angulos EBF y DFC son iguales,entonces aplicando la función seno,haciendo uso de los triangulos EBF y FDC respectivamente,tenemos que 

EF/BF=DC/FC...(1)

Observa que como AEDF Es cuadrado entonces EF=FD=DA=AE,para simplificar usemos x como el lado del cuadrado AEDF,asi x=EF=FD=DA=AE,ademas AC=AD+DC=x+DC

Sabiendo que AC=15cm, de (1),tenemos entonces que

x/BF=((15-x)/FC

Asi,se tiene que

FC x= BF(15-x)

BFx +FC x =BF 15

(BF+FC)x=BF (15)

BC x=BF (15)

x=(BF/BC)15

Para obtener BF observa el triangulo BEF,por el teorema de pitágoras,y observando que AB=AE+EB=x+EB,sabemos que,como AB=10cm

BF=√((10-x)²+x²)=√(2x²-20x+100)

Ademas,del triangulo ABC,sabemos que,por el teorema de pitágoras

BC=√(15²+10²)=5√13

Asi,entonces tenemos que

x=(BF/BC)15=(15√(2x²-20x+100))/ (5√13)

Elevando al cuadrado,entonces

x²=9(2x²-20x+100)/13

13x²=18x²-180x+900

5x²-180x+900=0

x²-36x+180=0

Asi,tenemos que x es

x=(36±√(1296-720)) / 2 =(36±√576)/2=(36±24)/2

Asi,se tiene dos soluciones,a saber x=30 y x=6,observa que como AC=x+DC es claro que x<AC=15cm,asi pues,tenemos que x=6cm

Por lo que el area del cuadrado ADEF es 36cm²

Muchisimas gracias

Obs: la notacion ang quiere decir angulo

Para ver que I es cierta,observa que si trazamos una paralela a AB que pase por E,siendo G el punto de interseccion de esta recta con AD,entonces el angulo ABD=FEG...(1)

ademas como GE es paralela a AB por construccion y AB es paralela a DC por ser ABCD paralelogramo,entonces GE es paralela a DC,asi FE es una recta que pasa por dos paralelas,asi pues por ser angulos alternos internos,tenemos que el angulo FEG y el angulo EFC son iguales, y por (1),entonces tenemos quelos angulos ABD y EFC son iguales.

Para ver que el angulo DAB es igual al angulo FCE se tiene por ser ABCD paralelogramo,pues siempre los angulos internos opuestos son iguales,asi pues con esta afirmacion podemos decir que el angulo FEC y el angulo ADB son iguales,pues como FE es paralela a DB Y BC es una recta que corta a ambas,entonces el angulo FEC es igual al angulo DBE,asi pues notamos que angABC=angABD +angDBE=angABD+andFEC,por otro lado,como DB es paralela a FE y DC es una recta que corta a mbas,entonces angCFE=angCDB,observa ademas que angADC=angADB+angCDB

Asi pues como los angulos opuestos del paralelogramo ABCD son iguales,entonces

angADC=angABC

angADB+angCDB=angABD+angDBE

Como angABD=angCFE=angCDB entonces,tenemos que angADB=angDBE=angFEC

Asi los angulos internos de los triangulos ADB y FEC son iguales entonces son semejantes.

Para la 2,pienso que si es verdad pues el angFEC lo tienen en comun,y como DB es paralela a FE y DC corta a ambas,entonces angCDB=angCFE,ahora bien,como CB corta a FE y DB al ser estas paralelas,entonces angCEF=angCBD

Asi,los angulos son iguales entre ambos triangulos,es decir,son semejantes.

Y la 3 sale de las otras dos,pues como el triangulo ABD es semejante con el triangulo CFE  (Por I)y este ultimo es semejante con el triangulo BDC (Por ii)

 entonces ocurre que el triangulo ABD es semejante con el trianguo BDC,asi la respuesta seria la E

Gracias ¡

a)

Puedes plantear la expresión general del punto B, que pertenece al arco de la parábola, y queda: B( b , (b-3)² ) (1),

y observa que debe verificarse la doble inecuación: 3 ≤ b ≤ 6 (2).

Luego, tienes que la pendiente de la recta que pasa por el punto A(6,0) y por el punto B queda expresada: m = (b-3)²/(b-6),

luego, con las coordenadas del punto A, y con la expresión de la pendiente de la recta, planteas su ecuación cartesiana explícita, y queda:

y = ( (b-3)²/(b-6) )*(x - 6) (3),

que es la ecuación cartesiana explícita de la recta que contiene al lado AB, que es el primer lado del triángulo.

Luego, tienes que el eje OX contiene al segundo lado del triángulo, por lo que planteas la ecuación cartesiana de dicho eje, y queda:

y = 0 (4).

Luego, planteas la ecuación de la recta perpendicular al eje OX que pasa por el punto B (observa que esta es paralela al eje OY, y que contiene al tercer lado del triángulo), y queda:

x = b (5).

Luego, tienes que el primer vértice del triángulo es el punto: A, que el segundo vértice es el punto B, y para plantear la expresión del tercer vértice, planteas la intersección de las rectas que contienen al segundo y al tercer lado respectivamente, y tienes que el tercer vértice tiene la expresión: C(b,0), y observa que este último vértice corresponde al ángulo recto del triángulo.

Luego, observa que las rectas que contienen al segundo y al tercer lado del triángulo son perpendiculares, por lo que tienes que los catetos del triángulo son los segmentos CA y CB, cuyas longitudes quedan expresadas:

│CA│ = √( (6-b)² + (0-0)² ) = √( (6-b)² ) = 6 - b (6),

│CB│ = √( (b-b)² + ( (b-3)²-0 )² ) = √( (b-3)⁴ ) = (b - 3)² (7).

Luego, planteas la expresión del área del triángulo rectángulo en función de las longitudes de sus catetos, y queda:

A = (1/2)*│CA│*│CB│, sustituyes las expresiones señaladas (6) (7), y queda la expresión de la función:

A(b) = (1/2)*(6 - b)*(b - 3)² (8),

que corresponde al área de los posibles triángulos rectángulos.

Luego, derivas la expresión de la función señalada (8) (observa que debes aplicar la Regla de la Multiplicación de Funciones), y queda:

A'(b) = -(1/2)*(b - 3)² + (6 - b)*(b - 3), extraes factor común, y queda:

A'(b) = (b - 3)*( -(1/2)*(b - 3) + (6 - b) ), resuelves el segundo factor de esta expresión, y queda:

A'(b) = (b - 3)*(-(3/2)*b + 15/2) (9).

Luego, planteas la condición de valor estacionario (posible máximo o posible mínimo de la función), y queda:

A'(b) = 0, sustituyes la expresión señalada (9) en el primer miembro, y queda:

(b - 3)*(-(3/2)*b + 15/2) = 0, y por anulación de una multiplicación de expresiones, tienes dos opciones:

1º)

b - 3 = 0, aquí sumas 3 en ambos miembros, y queda: b = 3,

reemplazas este valor en las expresiones de los vértices B y C, resuelves, y queda: B(3,0) y C(3,0),

y como estas dos expresiones coinciden, tienes que este valor no corresponde a una solución para este problema, ya que tienes como solución al segmento que une los puntos (3,0) y (6,0);

2º)

-(3/2)*b + 15/2 = 0, aquí multiplicas por -2/3 en todos los términos, y queda:

b - 5 = 0, aquí sumas 5 en ambos miembros, y queda: b = 5, que cumple la condición señalada (2),

reemplazas este valor remarcado en las expresiones de los vértices B y C, resuelves, y queda: B(5,4) y C(5,0),

y observa que con estos dos punto y con el punto A(6,0) tienes un triángulo rectángulo en el punto C.

Te dejo la tarea de hacer el gráfico cartesiano.

Espero haberte ayudado.

b)

Vamos por una orientación.

Puedes designar con x al ancho y al largo de la base, y con y a la altura del depósito, que es un prisma rectangular recto con base cuadrada, y observa que los valores de x e y deben ser estrictamente positivos.

Luego, planteas la expresión del volumen del depósito, y queda:

V(x,y) = x²*y, y como tienes el valor del volumen del depósito en tu enunciado, puedes plantear la ecuación:

x²*y = 500 (en litros), y aquí divides por x2 en ambos miembros, y queda:

y = 500/x² (1).

Luego, planteas la expresión del área de la base del depósito, y queda:

A_b = x² (2).

Luego, planteas la expresión del área total de las cuatro paredes rectangulares del depósito, y queda:

A_tp = 4*x*y (3).

Luego, planteas la expresión del área total (base más paredes), y queda:

A_T = A_b + A_tp, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3), y queda la expresión:

A_T = x² + 4*x*y;

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en el último término, resuelves su coeficiente, simplificas, y queda:

A_T = x² + 2000/x (4),

que es la expresión del área total del depósito en función de la longitud del lado de su base cuadrada.

Luego, queda que plantees la expresión de la derivada primera, iguales a cero a fin de determinar los valores estacionarios (recuerda que debes considerar los valore estrictamente positivos), y luego continuar (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.

Puede ser que me de x=10 y el área total 300 metros?

Si, Danilo. Tu respuesta es correcta.

la función es continua en x=2 pues f(2)=lim_x->2f(x)=4

y por otro lado lim_x->1f(x)=1

efectivamente no sería un rombo .

Gracias Cesar

El paréntesis en la segunda ecuación.

Distancia de un punto a un plano

Tienes la ecuación cartesiana implícita del plano:

2x - y + 2z + 1 = 0 (1),

y observa que la expresión de uno de sus vectores normales es: u = < 2 , -1 , 2 >,

y observa que el punto P(4,6,0) no pertenece al plano.

Luego, planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P, cuyo vector director es u, y queda:

x = 4 + 2t (2),

y = 6 - t (3),

z = 2t (4), 

con t ∈ R.

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3) (4) en la ecuación señalada (1), y queda:

2(4 + 2t) - (6 - t) + 2(2t) + 1 = 0, distribuyes términos, y queda:

8 + 4t - 6 + t + 4t + 1 = 0, reduces términos semejantes, y queda:

9t + 3 = 0, restas 3 en ambos miembros, y queda:

9t = -3, divides por 9 en ambos miembros, y queda:

t = -1/3, que es el valor del parámetro que corresponde al punto de intersección del plano con la recta perpendicular a él;

luego, reemplazas este valor del parámetro en las ecuaciones señaladas (2) (3) (4), y queda:

x = 10/3,

y = 19/3,

z = -2/3,

que son las coordenadas del punto de intersección, cuya expresión es: 

Q(10/3,19/3,-2/3),

y puedes verificar que este punto pertenece al plano y a la recta al mismo tiempo.

Luego, observa que la distancia entre el plano y el punto P es igual a la distancia entre el punto P y el punto Q, por lo que puedes plantear:

Dist(plano,P) = Dist(QP), expresas a la distancia entre los dos puntos en función de sus coordenadas, y queda:

Dist(plano,P) = √( (4-10/3)² + (6-19/3)² + (0+2/3)² ), resuelves agrupamientos, y queda:

Dist(plano,P) = √( (2/3)² + (-1/3)² + (2/3)² ), resuelves potencias, y queda:

Dist(plano,P) = √( 4/9 + 1/9 + 4/9 ), resuelves el argumento de la raíz, y queda:

Dist(plano,P) = √( 1 ), resuelves la raíz, y queda:

Dist(plano,P) = 1,

por lo que tienes que la opción señalada (a) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.

Punto simetrico a una recta

Ten en cuenta que el punto P pertenece a la recta r

Tienes la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es el eje de simetría, cuyo vector director es: u = < 0 , 1 , 1 >,

y a partir de ella planteas las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta, y queda:

x = 1 (1),

y = λ (2),

z = λ (3),

con λ ∈ R.

Luego, planteas la ecuación cartesiana implícita del plano perpendicular a la recta que pasa por el punto P(1,0,1) (observa que su vector normal es el vector director de la recta), y queda:

0*(x - 1) + 1*(y - 0) + 1*(z - 1) = 0, aquí distribuyes en todos los términos, cancelas términos nulos, y queda:

y + z - 1 = 0 (4).

Luego, reemplazas las expresiones señaladas (1) (2) (3) (en realidad, solo las dos últimas), y queda:

λ + λ - 1 = 0, y de aquí despejas: λ = 1/2;

luego, reemplazas este valor en las ecuaciones paramétricas de la recta, y queda:

x = 1,

y = 1/2,

z = 1/2,

por lo que tienes que el punto de intersección entre la recta y el plano perpendicular a ella es: A(1,1/2,1/2).

Luego, planteas la expresión del vector aplicado en el punto P con extremo en el punto A, y queda:

PA = < 1-1 , 1/2-0 , 1/2-1 >, resuelves componentes, y queda: 

PA = < 0 , 1/2 , -1/2 > (5).

Luego, planteas la expresión del vector aplicado en el punto A con extremo en el punto P'(a,b,c), y queda:

AP' = < a-1 , b-1/2 , c-1/2 > (6).

Luego, como tienes en tu enunciado que los puntos P y P' son simétricos con respecto a la recta eje, entonces tienes que los vectores PA y AP' son colineales, con igual sentido, y con módulos iguales, por lo que puedes plantear la ecuación vectorial:

AP' = PA, sustituyes las expresiones señaladas (6) (5), y queda:

< a-1 , b-1/2 , c-1/2 > = < 0 , 1/2 , -1/2 >;

luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda el sistema:

a - 1 = 0, de aquí despejas: a = 1,

b - 1/2 = 1/2, y de aquí despejas: b = 1,

c - 1/2 = -1/2, y de aquí despejas: c = 0,

por lo que tienes que la expresión del punto simétrico al punto P con respecto a la recta eje es:

P'(1,1,0),

y puedes concluir que la opción señalada (b) es la respuesta correcta.

Espero haberte ayudado.