Me sale el doble, Nico:

Observa que las ecuaciones de las curvas se pueden expresar en forma explícita, con x como función de y:
x = y + 2
x = y^2
igualamos para buscar sus puntos de intersección y queda la ecuación:
y^2 = y + 2
luego hacemos pasajes de términos y queda:
y^2 - y - 2 = 0
cuyas soluciones son:
y = -1, que nos conduce a un punto que no pertenece al primer cuadrante:
y = 2, que nos conduce al punto (4,2), que si pertenece al primer cuadrante y es el punto de corte entre las curvas.
Luego, el área puede calcularse, con los límites de integración 0 < y < 2, y observa que a la izquierda de la región se encuentra la parábola, y a su derecha la recta):
Área = Integral ((y + 2) - y^2)*dy = [(1/2) * y^2 + 2y - (1/3) * y^3] para evaluar entre 0 y 2, lo hacemos y queda:
Área = (2 + 4 - 8/3) - 0 = 16/3.
Muchas veces es muy conveniente expresar las curvas con x en función de y, como en este caso.
Espero haberte ayudado.

y como se cuando debo dejar expresado x en funcion de y? ...y tambien ¿que parabola? me confundi algo ahi :(

Va Day

Graciasss!
En el primer limite, no entiendo que ha pasado con 3/raiz x^2-1, y el ultimo paso de este mismo ejercicio :/

a)
Tenemos que completar binomios elevados al cuadado:
empezamos por ordenar términos y hacer pasaje de términio numérico:
x^2 + 6x + y^2 + 4y = 7
luego agregamos términos según la propiedad uniforme, para completar los binomios al cuadrado desarrollados a la izquierda:
x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 7 + 9 + 4
luego, tenemos los binomios a la izquierda y resolvemos a la derecha:
(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 20
observa que la ecuación corresponde a una circunferencia, cuyos elementos son: centro C(-3,-2) y radio R = V(20);
b)
Observa que el punto P(1,0) pertenece a la circunferencia, ya que sus coordenadas verifican la ecuación.
Luego, derivamos implícitamente (recuerda que y es función de x):
2(x + 3) + 2(y + 2)*y ' = 0
luego evaluamos para el punto de contacto:
2(1 + 3) + 2(0 + 2)*y ' = 0
resolvemos en cada término:
8 + 4y ' = 0
por último, despejamos y obtenemos el valor de la derivada (que será la pendiente de la recta tangente buscada):
y ' = -2.
Por último, como tenemos el punto de contacto y la pendiente, pasamos a la ecuación cartesiana de la recta tangente:
y - 0 = -2(x - 1)
luego cancelamos el término nulo de la izquierda y distribuimos a la derecha y queda:
y = -2x + 2
que es la ecuación cartesiana explícita de la recta tangente pedida.
Espero haberte ayudado.

Va la ayuda, Vanessa:

Recuerda la expresión para calcular un volumen de revolución, alrededor del eje OX:


V = pi * Integral (f(x))^2 * dx.


Comenzamos por despejar y en la ecuación implícita de la curva que nos dan en el enunciado, lo hacemos y queda:


y = (V(a) - V(x))^2


luego elevamos al cuadrado y queda:


y^2 = (V(a) - V(x))^4 = (f(x))^2


Por lo tanto, la integral para el volumen queda expresada:


V = pi * Integral (V(a) - V(x))^4 * dx


Para visualizar los límites de integración, observa la ecuación implícita de la curva, y tenemos que x >= 0, e y >= 0 por ser argumentos de raíces cuadradas, por lo tanto planteamos:


si x = 0, entonces V(y) = V(a), luego y = a;


si y = 0, entonces V(x) = V(a), luego x = a;


y vemos que x toma valores entre 0 y a, por lo que el intervalo de integración queda: 0 <= x <= a.


Volvamos ahora a la integral que tenemos que resolver:


V = pi * Integral (V(a) - V(x))^4 * dx


planteamos la sustitución:


u = V(a) - V(x), de donde tenemos (observa que cuando x = 0 tenemos que u = V(a), y cuando x = a tenemos que u = 0 (**)), luego hacemos pasaje de términos y queda:


V(x) = V(a) - u;


a partir de la expresión de u planteamos su diferencial:


du = (-1/(2V(x)))dx, luego: - 2V(x)du = dx, luego: -2(V(a) - u) *du = dx.


Sustituimos todo en la integral y queda:


V = pi * Integral u^4 * -2(V(a) - u) *du = -2pi * Integral (V(a)*u^4 - u^5) * du


Resolvemos y queda:


V = -2pi * [(V(a) / 5)*u^5 - (1/6)*u^6], que debemos evaluar (recuerda la llamada (**)) entre V(a) y 0, lo hacemos y queda:


V = -2pi * [ 0 - ( (V(a) / 5)*(V(a))^5 + (1/6)*(V(a))^6 )] =


= 2pi * [ a^3 / 5 - a^3 / 6] =


= 2pi * a^3 / 30 =


= pi * a^3 / 15.


Como última apreciación: busca un programa para graficar la curva, que no es una parábola con eje paralelo a OX u OY.


Espero haberte ayudado.

Es una parábola, pero con eje de simetría oblicuo. Te va el volumen:

Corregido. Tiene razón el Colega y Tocayo. Gracias Antonio.

El argumento de la raíz tiene que ser mayor o igual que cero...

x(4-x) ≥ 0

Pon foto del enunciado original Manuel.

Ya encontré un problema parecido, lo pude resolver. Gracias

Asi Eric:

Muchas gracias Peter Paan. Me ha servido mucho tu ayuda.

Te quedan las soluciones en forma implícita:

Te explicamos, Alex: