Observa que la integral doble que has propuesto corresponde a una región de integración que es un disco completo, con centro en el origen de coordenadas y radio cuatro, pero observa que la región de integración es la mitad "derecha" de dicho disco (observa que la variable x toma valores positivos comprendidos entre cero y cuatro), por lo que tienes un cuarto de disco en el cuarto cuadrante y otro cuarto de disco en el primer cuadrante;

luego, tienes que con el paso a coordenadas polares (no olvides el factor de compensación Jacobiano: |J| = r) queda:

I = _-π/2∫^π/2₀∫⁴ (r*cosθ)*(r*senθ)*r*dr*dθ = _-π/2∫^π/2₀∫⁴ (r³*senθ*cosθ)*dr*dθ = _-π/2∫^π/2₀∫⁴ ( r³*(1/2)sen(2*θ) )*dr*dθ,

extraes el factor constante, integras para la primera variable (r, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

I = (1/2)*_-π/2∫^π/2 sen(2*θ)*[ r⁴/4 ]*dθ = (1/2)*_-π/2∫^π/2 sen(2*θ)*[ 64 ]*dθ = 32*_-π/2∫^π/2 sen(2*θ)*dθ,

integras para la segunda variable (θ, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

I = 32*[ -(1/2)*cos(2*θ) ] = 32*[ -(1/2)*cos(π) - ( -(1/2)*cos(-π) ) ] = 32*[ 1/2 - 1/2 ] = 32*0 = 0.

Espero haberte ayudado.   

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis siempre también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro.

Suponiendo que las cifras no se pueden repetir. Entonces:

Comienzan por 1   Variaciones de 4 tomadas de 3 en 3  V4,3 = 24  Analogamente comienzan por 3, 24 y por 5, 24.   

Fijo el 7 en primera posición   comienzan por 71  V 3,2 = 6  

Tenemos a continuación 7315, 7319.  Entonces el número 7319 ocupa el lugar 24.3 + 6 + 2 = 80

Suponiendo que las cifras  se pueden repetir. Entonces:

Comienzan por 1   Variaciones con repetición de 5 tomadas de 3 en 3  VR5,3 = 5³ =125.  Analogamente comienzan por 3, 125 y por 5, 125.   

Fijo el 7 en primera posición   comienzan por 71  VR 5,2 = 25 

Tenemos a continuación 7311, 7313, 7315, 7317, 7319  Entonces el número 7319 ocupa el lugar 125.3 + 25 + 5 = 405

Está bien

Es eso nada más?

A ver si lo entendí bien:

Tienes la expresión de la función (observa que es continua y también derivable en R-{0}):

f(x) = a*x² + b/x (1);

luego, planteas la expresión de su función derivada, y queda:

f'(x) = 2*a*x - b/x² (2).

Luego, tienes que el punto P(2,4) pertenece a la gráfica de la función, por lo que puedes plantear la igualdad:

f(2) = 4, sustituyes la expresión señalada (1) evaluada en el primer miembro, y queda:

4*a + b/2 = 4, multiplicas por 2 en todos los términos, y queda:

8*a + b = 8 (3).

Luego, tienes que el punto P(2,4) es el punto de contacto de la gráfica de la función con su recta tangente, y como ésta es paralela al eje OX, entonces tienes que su pendiente es igual a cero, por lo que puedes plantear la igualdad:

f'(2) = 0, sustituyes la expresión señalada (2) evaluada en el primer miembro, y queda:

4*a - b/4 = 0, multiplicas por 4 en todos los términos, y queda:

16*a - b = 0, restas 16a en ambos miembros, luego multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda:

b = 16*a (4).

Luego, sustituyes la expresión señalada (4) en la ecuación señalada (3), resuelves su primer miembro, y queda:

24*a = 8, divides por 24 en ambos miembros, y queda:

a = 1/3;

luego, reemplazas este valor en la ecuación señalada (4), resuelves, y queda:

b = 16/3;

luego, reemplazas los valores de los coeficientes que tienes remarcados en la expresión de la función señalada (1), y queda:

f(x) = (1/3)*x² + (16/3)/x.

Espero haberte ayudado.