Te ayudo con un planteo por etapas posible.

1°)

Tienes una ecuación cartesiana implícita de la circunferencia:

x² + y² - 8*x = 0 (1);

luego, derivas implícitamente con respecto a x, y queda:

2*x + 2*y*y ' - 8 = 0 (2);

luego, puedes llamar: P(a,b) al punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia,

reemplazas sus coordenadas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

a² + b² - 8*a = 0 (1*),

2*a + 2*b*y ' - 8 = 0, aquí divides por 2 en todos los términos, y queda:

a + b*y ' - 4 = 0, aquí sumas 4 y restas a en ambos miembros, y queda:

b*y ' = 4 - a, aquí divides por b en ambos miembros (observa que b no debe ser igual a cero), y queda:

y ' = (4 - a)/b, por lo que tienes que la pendiente de la recta tangente queda expresada:

m = (4 - a)/b (2*).

2°)

Tienes una ecuación cartesiana canónica de la hipérbola:

x²/9 - y²/4 = 1, aquí multiplicas por 36 en todos los términos, y queda:

4*x² - 9*y² = 36 (3);

luego, derivas implícitamente con respecto a x, y queda:

8*x - 18*y*y ' = 0 (4);

luego, puedes llamar: Q(c,d) al punto de contacto de la recta tangente con la hipérbola,

reemplazas sus coordenadas en las ecuaciones señaladas (1) (2), y queda:

4*c² - 9*d² = 36 (3*),

8*c - 18*d*y ' = 0, aquí divides por 2 en todos los términos, y queda:

4*c - 9*d*y ' = 0, aquí restas 4*c en ambos miembros, y queda:

-9*d*y ' = -4*c, aquí divides por -9*d en ambos miembros (observa que d no debe ser igual a cero), y queda:

y ' = 4*c/(9*d), por lo que tienes que la pendiente de la recta tangente queda expresada:

m = 4*c/(9*d) (4*).

Luego, con las expresiones de los puntos de contacto de la recta tangente con las dos curvas, tienes que la pendiente de la recta queda expresada:

(d-b)/(c-a) = m, aquí multiplicas por (c-a) en ambos miembros (observa que a y c no deben ser iguales), y queda:

d - b = m*(c - a) (5).

3°)

Con las ecuaciones señaladas (1*) (2*) (3*) (4*) (5) tienes el sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas:

a² + b² - 8*a = 0 (1*),

m = (4 - a)/b (2*),,

4*c² - 9*d² = 36 (3*),

m = 4*c/(9*d) (4*).

d - b = m*(c - a) (5).

4°)

Queda que resuelvas el sistema de ecuaciones, lo que no es una tarea sencilla.

Haz el intento, y si te resulta necesario, no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

una consulta como resolvió el sistema de 4 ecuaciones , que método utilizo por favor

Lo siento Martina pero no podemos ni debemos haceros los deberes.

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Para el primer apartado es correcto el planteo que propones.

Para el segundo apartado: suponemos que el triángulo es la porción del plano que se encuentra en el primer octante.

Luego, planteas la expresión del plano (observa que tienes que es paralelo al plano cuya ecuación tienes en tu enunciado), y queda:

x + 2y + z = k, con k ∈ R (a determinar).

Luego, anulas de a dos las incógnitas en esta ecuación, despejas la tercera incógnita, y tienes que los punto de intersección de este plano con los ejes coordenados quedan expresados:

A(k,0,0), B(0,k/2,0), C(0,0,k) (observa que k debe tomar un valor positivo).

Luego, considera a uno de esos puntos (por ejemplo el punto A) como punto de aplicación, y puedes plantear las expresiones de los vectores:

u = AB = < 0-k , k/2-0 , 0-0 > = < -k , k/2 , 0 >,

v = AC = < 0-k , 0-0 , k-0 > = < -k , 0 , k >.

Luego, planteas la expresión del producto vectorial entre los dos vectores, y queda:

u x v = < k²/2 , k² , k²/2 >,

cuyo módulo queda expresado:

|u x v| = √( (k²/2)² + (k²)² + (k²/2)² ) = √( k⁴/4 + k⁴ + k⁴/4 ) = √( 6k⁴/4 ) = √(6)k²/2.

Luego, recuerda que el módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo determinado por los dos vectores, y que el área del triángulo determinado por ellos al que refiere tu enunciado es igual a la mitad del área del paralelogramo, por lo que puedes plantear:

A_par/2 = A_tr,

sustituyes la expresión del módulo del producto vectorial en el primer miembro, reemplazas el valor del área del triángulo que tienes en tu enunciado en el segundo miembro, y queda:

(√(6)k²/2)/2 = √(6),

resuelves el primer miembro, y queda:

√(6)k²/4 = √(6),

multiplicas en ambos miembros por 4/√(6), y queda:

k² = 4,

extraes raíz cuadrada positiva en ambos miembros (recuerda que k debe ser positivo), y queda:

k = 2;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación del plano que tienes planteada, y queda:

x + 2y + z = 2,

reemplazas también dicho valor en las expresiones de los vértices del triángulo, resuelves coordenadas, y queda:

A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,2).

Espero haberte ayudado.

Vamos con orientaciones, pero sería muy conveniente para ti que mires los vídeos relacionados con el tema de este ejercicio.

1)

√( 3*√( 3*√( 3*√(3) ) ) ) = reemplazas: √(3) = 3^1/2:

= √( 3*√( 3*√( 3*3^1/2 ) ) ) = reemplazas: √(3*3^1/2) = √(3^1+1/2) = √(3^3/2) = (3^3/2)^1/2 = 3^(3/2)*(1/2) = 3^3/4:

= √( 3*√( 3*3^3/4 ) ) = reemplazas: √(3*3^3/4) = √(3^1+3/4) = √(3^7/4) = (3^7/4)^1/2 = 3^(7/4)*(1/2) = 3^7/8:

= √( 3*3^7/8 ) = reemplazas: √(3*3^7/8) = √(3^1+7/8) = √(3^15/8) = (3^15/8)^1/2 = 3^(15/8)*(1/2) = 3^15/16:

= 3^15/16.

2)

25^3/2 + 343^2/3 = reemplazas: 25 = 5² y 343 = 7³, y queda:

= (5²)^3/2 + (7³)^2/3 = aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en ambos términos:

= 5^2*(3/2) + 7^3*(2/3) = resuelves los exponentes:

= 5³ + 7² = resuelves términos:

= 125 + 49 = 174.

3)

81^0,75 = reemplazas: 81 = 3⁴:

= (3⁴)^0,75 = aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia:

= 3^4*0,75 = resuelves el exponente:

= 3³= 27.

4)

⁵√(-2⁵) = ⁵√(-1*2⁵) = distribuyes la raíz:

= ⁵√(-1)*⁵√(2⁵) = resuelves la primera  raíz, simplificas raíz y potencia en el segundo factor

= -1*2 = -2.

5)

5 / ⁴√(1000) = reemplazas: 1000 = 2³*5³:

= 5 / ⁴√(2³)*⁴√(5³) = multiplicas por ⁴√(2) y por ⁴√(5) en el numerador y en el denominador:

= 5*⁴√(2)*⁴√(5) / ⁴√(2³)*⁴√(2)*⁴√(5³)*⁴√(5) = 

asocias factores en el numerador, asocias factores con argumentos iguales en el denominador, y queda:

= 5*⁴√(2*5) / ⁴√(2³*2)*⁴√(5³*5) = resuelves argumentos en las raíces:

= 5*⁴√(10) / ⁴√(2⁴)*⁴√(5⁴) = simplificas raíces y potenciad en el denominador:

= 5*⁴√(10) / 2*5 = simplificas factor y divisor racional:

= ⁴√(10) / 2.

6)

4 / ( 2*√(3) - 3*√(2) ) = 

multiplicas al numerador y al denominador por la expresión "conjugada" del denominador, y queda:

= 4*( 2*√(3) + 3*√(2) ) / ( 2*√(3) - 3*√(2) )*( 2*√(3) + 3*√(2) ) = 

distribuyes en el denominador (observa que resolvemos raíces y potencias), y queda:

= 4*( 2*√(3) + 3*√(2) ) / ( 4*3 + 2*3√(3)*√(2) - 3*2*√(2)*√(3) - 9*2 ) =

cancelas términos opuestos y resuelves multiplicaciones en el denominador, y queda:

= 4*( 2*√(3) + 3*√(2) ) / ( 12 -  18 ) =

resuelves el denominador, y queda:

= 4*( 2*√(3) + 3*√(2) ) / ( -6 ) =

simplificas y resuelves el signo:

= -2*4*( 2*√(3) + 3*√(2) ) / 3.

Espero haberte ayudado.

Hola, siento haber tardado en responder.

Aquí adjunto una imagen con los pasos que hay que seguir para resolver los ejercicios.

Espero que sea útil, un saludo.

Hola, los de la pregunta 1 están bien (salvo el b, que no está contestado). Como he visto que luego lo preguntas de nuevo, te intentaré responder más tarde en la otra pregunta. Lo único, que podrías simplificar el apartado a) haciendo: 2^3/12 = 2^1/4 

En la pregunta 2: en el apartado a) el denominador es la diferencia de cuadrados 7 - 5 = 2 ; por tanto, en el resultado final podrías simplificar quitando el 2 del denominador: (12 + 2√35) / 2 = 6 + √35 (sacando factor común en el numerador, 2, se tacha con el 2 del denominador).

En el apartado b) en el penúltimo paso el denominador se queda en 10, ya que la raíz cuarta de 10⁴ es 10. Finalmente, simplificando 5/10, se te quedaría en: ⁴√10 / 2

Espero que te haya servido, un saludo.