Si intercepta el eje y a una altura 2A significa que cuando x=0, y=2A
Si sustituyes.. 2A=M.ln(0+A)+N... 2A-N=M.lnA... (2A-N)/M=lnA... A=e^( (2A-N)/M)
La funcion tiene una asintota vertical en x=-A (el valor de X que anula lo de "dentro" del logaritmo).... si el corte con el eje x equidista con el orgien significa que se encuentra entre -A y =. Por tanto X=-A/2 cuando y=0... Si sustituyes en tu función... 0=M.ln(-A/2+A)+N... -N=M.ln(A/2)... -N/M=ln(A/2)...... A/2=e^(-N/M)
A=2.e^(-N/M).... Deberás tratar de despejar N y M, pero eso te dejo que lo intentes tu ¿ok?...

En cuanto al segundo, si es cuadratica.. .f(x)=a.x²+bx+c, de donde f'(x)=2ax+b
Como tiene un maximo para x=40... f'(40)=0.... 2.a.40+b=0... b=-80a.... La utilidad maxima es f(40)=a.40²+b.40+c....

Por otro lado, para x=25 la utilizad es un 60% de f(40) y por tanto... f(25)=a.25²+b.25+c = 0,6[a.40²+b.40+c]
Para x=20, la utilidad es 1300. Por tanto f(20)=1300... a.20²+b.20+c =1 300...

De aquí tienes un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas que deberás resolver (te sugiero GAUSS)...
Intenta, para la proxi, aportar algo más que 2 enunciados ¿ok?...

Creo que el ejercicio se refiere a esto, pero no estoy seguro:

Te pongo también el c). El que falta te lo dejo a ti ;)

Yo lo haría así:
a) Tomo u=x³→du=3x² dx. Por lo tanto r=2
b) Tomo u=lnx→du=(1/x) dx. Por lo tanto r=-1
c) Tomo u=√x→du=(1/(2√x)) dx. Por lo tanto r= -1/2

No se si sea el procedimiento que necesitas...

El método de Luis parece más lógico. Yo había hecho el caso b) de la siguiente forma (también a ojo):

U=lnx
dv=x

Solo opera Nico

Como integraste x^2/2 . 1/x? No logro entender como llegaste a ese x^2/4

Para que sea continua los limites laterales debes ser iguales:
limite cuando x→-1 de sen(πx)+a=a
limite cuando x→-1 de ax+b=-a+b
Entonces a=-a+b→2a-b=0 ....(1)

Por otro lado:
limite cuando x→0 de ax+b=b
limite cuando x→0 de x²+2=2
Entonces b=2 ...(2)

Resolviendo el sistema (1),(2), tenemos que:
a=1 y b=2

Con esos valores la función es continua, te dejo la gráfica para que lo observes :)

Te va, Daniel. Si tus profesores son alérgicos a L'Hôpital, cuéntanoslo, que te enviamos otra resolución.

otra profe, se puede usar el limite notable (1+(1/x))^x ???

Pues claro, Hugo:

Como se llama eso que aparece en los recuadros amarillos?
como se que eso es igual a uno?

Antonio esta muy bien pero no entiendo la arte en que dices que el lim cuando x tiende a 0 de ((a^x)-1)/x lna = 1

Son infinitésimos equivalentes. Aquí va la demostración:

El resultado es 1/(0^+) =+∞

una pregunta, cuando mencionas que 0 esta elevado a algo positivo, es decir vale para todo numero positivo o solo numero par? si yo tengo un 3 en lugar de un 4 va a ser +infinito siempre? y cuando menos infinito?

0^+ indica un infinitésimo positivo, esto es que tiende a 0 por la derecha.
Si el exponente, en lugar de 4, fuese 3, el infinitésimo sería positivo o negativo según nos acerquemos a 0 por la izquierda o por la derecha.

Alejandro, resuelvo el límite y te mando una foto.

Revisé la función en un graficador y con calculadora científica. Los límites laterales cuando x tiende a 0 dan siempre infinito positivo.

Si x=1 tenemos a-(a+7)+(a+8)-(a+1)=0 para el numerador
a-(a+9)+(a+16)-(a+7)=0
Luego un divisor de ambbos será (x-1)
quedando la expresion como
ax²-7x+a+1
------------------------------
ax^2-9x+(a+7)

Pues lo intentamos:

Gracias por la explicación. Saludos

Si el determinante de la matriz (3x3)de los coeficientes es distinto de cero tendrá rango(3).
Si fuera nulo, el rango será <3.
si se encuentra algun menor complementario (2x2) distinto de 0 tendrá rango 2
Asi de sencillo.

Hola Rodrigo. A ver cuando te afeitas, que tienes un aire retro...

Rodrigo Falcón disculpa que ponga un comentario en tu pregunta, pero es para el señor Antonio Benito García:
Disculpe maestro ¿qué programa (software) utiliza para escribir ecuaciones y matemáticas en general? Es que sus respuestas en este foro siempre son muy bonitas. Un saludo.

El editor de ecuaciones de Word. Luego lo paso a jpg con el paint.

En lugar del Paint, se puede utilizar la herramienta "Recortes" que ya viene preinstalada en Windows y es bastante más eficiente para este tipo de tareas. Basta con seleccionar la región del escritorio que quieres convertir a imagen y evitas tener que abrir el Paint y copiarla en él.

Cuando consiga los recursos suficientes como para poder pagar a todos los profesores que deberán hacerse cargo... O cuando consiga que algunos profesores, altruistamente, se dediquen a hacerlos sin cobrar...
¿los recursos?... Dificil. Ni las donaciones, ni el merchandising, alcanzan ni para pagar los rotuladores que gasto.. Otra cosa es que consigamos patrocinadores.. Veremos... Besos!

Muchísimas gracias por atenderme David :)
Ánimo :D