y - (-4) = -7(x - 0)   , es decir  y + 4 = -7x    o en forma explícita  y = -7x - 4

Recuerda la expresión general de la ecuación cartesiana simétrica (o continua) de una recta cuyo vector director es: v = < a , b >, con a y b distintas de cero,

y que pasa por el punto: A(x_A,y_A):

(y - y_A)/b = (x - x_A)/a  (1).

Luego, tienes la expresión del vector director en tu enunciado, y de ahí tienes: a = -1, b = 7;

tienes la expresión de un punto que pertenece a la recta, y de ahí tienes: x_A = 0, y_A = -4;

luego, reemplazas estos valores en la ecuación señalada (1), y queda:

(y -[-4])/7 = (x - 0)/(-1), multiplicas por 7 en ambos miembros, resuelves el coeficiente en el segundo miembro, y queda:

y - [-4] = -7*(x - 0), que el la ecuación cartesiana "punto-pendiente" de la recta.

Luego, resuelves el signo en el segundo término del primer miembro, distribuyes y cancelas el término nulo en el segundo miembro, y queda:

y + 4 = -7*x, restas 4 en ambos miembros, y queda:

y = -7*x - 4, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta.

Espero haberte ayudado.

gracias 

Está bien. Ahora, con el valor obtenido de t, hallas M y luego P'  sabiendo que (P+P')/2 = M

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado, pero no olvidéis de adjuntarlo de forma LITERAL, para saber que os piden. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Hola! Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Efectivamente 

A mí tampoco se me ocurre... 

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

Tienes la ecuación de la superficie: z = x² - 6x + y³ (1), y has planteado correctamente que es una superficie de nivel de la función cuya expresión es:

F(x,y,z) = x² - 6x + y³ - z, que es una función diferenciable en R³.

Luego, has planteado correctamente la expresión de la función vector gradiente de la función F, y te ha quedado:

∇F(x,y,z) = < 2x - 6 ; 3y² ; -1 > (1).

Has planteado correctamente la expresión del vector normal al plano de referencia: 

n₁ = < 4 ; -12 ; 1 > (2).

Luego, como tienes que el vector gradiente de la función es perpendicular a las superficies de nivel de la función en todos sus puntos, entonces tienes que con él puedes plantear la expresión de los vectores normales a sus planos tangentes y,

como tienes que el plano tangente buscado es paralelo al plano de referencia, puedes plantear que que el vector gradiente es un múltiplo escalar del vector n₁, y queda la ecuación vectorial:

∇F(x,y,z) = k*n₁, con k ∈ R, k ≠ 0,

reemplazas las expresiones vectoriales, y queda:

< 2x - 6 ; 3y² ; -1 > = k*< 4 ; -12 ; 1 >,

introduces el factor escalar en la expresión vectorial del segundo miembro, y queda:

< 2x - 6 ; 3y² ; -1 > = < 4k ; -12k ; k >,

y por igualdad de expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y tienes el sistema de ecuaciones:

2x - 6 = 4k (2),

3y² = -12k (3),

-1 = k (4),

reemplazas el valor remarcado y señalado (4) en las ecuaciones señaladas (2) (3), y queda:

2x - 6 = -4, y de aquí despejas: x = 1 (5),

3y² = 12, divides por 3 en ambos miembros, y queda: y² = 4 (6).

Luego, como el punto de contacto entre el plano tangente buscado y la superficie pertenece a esta última, tienes que debe verificarse la ecuación señalada (1), por lo que reemplazas en ella el valor remarcado y señalado (5), resuelves y reduces los dos primeros términos de su segundo miembro, y junto con la ecuación señalada (6), queda el sistema:

z = -5 + y³ (7),

y² = 4, aquí extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

a)

y = -2, que al reemplazar y resolver en la ecuación señalada (7) queda: z = -13,

por lo que tienes el punto de contacto: A(1,-2,-13), al que corresponde el parámetro: k = -1, que al reemplazar en la expresión del la función vector gradiente queda: ∇F(x,y,z) = < -4 ; 12 ; - 1 >, que es el vector opuesto a n₁ y, por lo tanto, es un vector normal al plano tangente a la superficie de tu enunciado en el punto A, y con las componentes del vector remarcado (o del vector n₁ si lo prefieres), y con las coordenadas del punto A, planteas la ecuación cartesiana implícita del planto tangente, y queda:

∏_a: -4*(x - 1) + 12*(y + 2) - 1*(z + 13) = 0;

b)

y = 2, que al reemplazar y resolver en la ecuación señalada (7) queda: z = 3,

por lo que tienes el punto de contacto: B(1,2,3), al que corresponde el parámetro: k = -1, que al reemplazar en la expresión del la función vector gradiente queda: ∇F(x,y,z) = < -4 ; 12 ; - 1 >, que es el vector opuesto a n₁ y, por lo tanto, es un vector normal al plano tangente a la superficie de tu enunciado en el punto B, y con las componentes del vector remarcado (o del vector n₁ si lo prefieres), y con las coordenadas del punto B, planteas la ecuación cartesiana implícita del planto tangente, y queda:

∏_b: -4*(x - 1) + 12*(y - 2) - 1*(z - 3) = 0.

Espero haberte ayudado.