Vamos con la ayuda para tratar con la primera ecuación, cuya gráfica es una parábola con eje x = 4 y vértice V(2,4), raíces 0 y 4, luego tienes: 

y = 4x - x², haces pasajes de términos y queda:

x² - 4x = - y, luego sumas 4 en ambos miembros y queda:

x² - 4x + 4= 4 - y, luego factorizas el primer miembro (observa que tienes un trinomio cuadrado perfecto):

(x - 2)² = 4 - y, luego haces pasaje de potencia como raíz y queda:

x - 2 = ±√(4 - y), luego haces pasaje de término y queda:

x = 2 ±√(4 - y), luego observa que tienes una ecuación para cada rama de la parábola:

a) para la rama derecha ( con x entre 2 y 4): x = 2 + √(4 - y),

b) para la rama izquierda ( con x entre 0 y 2): x = 2 - √(4 - y),

Luego, observa que el intervalo de integración es: 0 ≤ y ≤ 4. y que para calcular el volumen del sólido de revolución alrededor del eje OY (V) debes plantear una diferencia entre volúmenes: volumen generado por la rama derecha (V_d) menos volumen generado por la rama izquierda (V_i). Luego tenemos:

V_d = π ∫ ( 2 + √(4 - y) )dy, para evaluar entre 0 y 4;

V_i = π ∫ ( 2 - √(4 - y) )dy, para evaluar entre 0 y 4;

y una vez hechos los cálculos, queda:

V = V_d - V_i .

Espero haberte ayudado.

Que Ker(f)=Conunto((0,0)) sucede cuando la aplicación lineal "no pierde" dimensiones, esto es, cuando es inyectiva.

Debes comenzar con la sustitución (cambio de variable): w = e^x, de donde tienes: dw = e^xdx, luego sustituyes y queda:

I = ∫ ( 1/√(1+w+w²) )dw (1).

Luego, pasamos al argumento de la raíz:

1 + w + w² = sumamos y restamos 1/4, agrupamos términos y queda:

= (1/4 + w + w²) - 1/4 = factorizamos el agrupamiento:

= (1/2 + w)² - 1/4.

Luego planteamos la sustitución: z = 1/2 + w, de donde tenemos: dz = dw, sustituimos en la expresión señalada (1) y queda:

I = ∫ ( 1/√(z² - 1/4) )dz (2).

Luego, puedes continuar con la sustitución trigonométrica: z = (1/2)sec²t, 

Haz el intento de continuar, y si te es necesario, puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Revisa operaciones:

Tienes la ecuación matricial:

AX - B = C^t, haces pasaje de término y queda:

AX = C^t + B. 

Luego, debes calcular la matriz inversa de la matriz A (observa que A es invertible porque su determinante es igual a -1 que es distinto de cero), y multiplicar en ambos miembros por izquierda por ella (A^-1), y queda:

A^-1AX = A^-1(C^t + B), luego resuelves el producto entre los dos primeros factores del primer miembro (su resultado es la matriz identidad de orden 2) y queda:

I₂X = A^-1(C^t + B), luego resolvemos el primer miembro (recuerda que la matriz identidad es neutra para le producto) y queda:

X = A^-1(C^t + B).

Luego, queda que hagas todos los cálculos.

Espero haberte ayudado.

Echale un vistazo a este vídeo que grabé como excepcion...  Polinomio de Taylor con Resto de una funcion trigonometrica
O a este, que se parece... Polinomio de McLaurin de una función exponencial

A partir de ahí, me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Recuerda que sen(x)=cateto opuesto / hipotenusa

cos(x)=cateto contiguo / hipotenusa

tan(x)=cateto opuesto / cateto contiguo

Observa que tienes dos triángulos rectángulos, cuyas bases coinciden, por lo que llamamos x a la base compartida.

Luego, llamamos y a la longitud de la altura del triángulo rectángulo más pequeño, y observa que la altura del triángulo rectángulo más grande es: (y + 3).

Luego planteamos:

tan(47°) = (y+3)/x (en el triángulo rectángulo más grande), de donde puedes despejar: x = (y+3)/tan(47°) (1),

tan(32°) = y/x (en el triángulo rectángulo más pequeño), de donde puedes despejar: x = y/tan(32°) (2),

luego igualas y tienes la ecuación:

(y+3)/tan(47°) = y/tan(32°), haces pasajes de divisores como factores y queda:

(y+3)tan(32°) = ytan(47°), distribuyes en el primer miembro de la ecuación y queda:

y tan(32°) + 3tan(32°) = ytan(47°), haces pasajes de términos y queda:

ytan(32°) - ytan(47°) = - 3tan(32°), extraes factor común en el primer miembro y queda:

y( tan(32°) - tan(47°) ) = - 3tan(32°), haces pasaje de factor como divisor y queda:

y = - 3tan(32°)/( tan(32°) - tan(47°) ).

Luego, solo queda que hagas el cálculo y luego reemplaces en las ecuaciones señaladas (1) (2) para obtener el valor de x.

Espero haberte ayudado.

Ok, eso ya lo tengo apuntado, muchas gracias!

Muchas gracias Antonio, voy a intentar hacerlo según las indicaciones que me diste, un saludo!