Plenteamos primero la ecuación g(x) = f(x) para buscar los puntos de intersección, sustituimos y queda: ³ ²
x³ - x = x² - 1, hacemos pasajes de términos, ordenamos términos y queda:
x³ - x² - x + 1 = 0, extraemos factor común por grupos y queda:
x²(x - 1) - 1(x - 1) = 0, extraemos factor común y queda:
(x - 1)(x² - 1) = 0, factorizamos el segundo agrupamiento, expresamos un producto como potencia y queda:
(x - 1)²(x + 1) = 0, observa que es una ecuación factorizada e igualada a cero, por lo que por ley de anulación de un producto, tenemos dos opciones:
a) x - 1 = 0, de donde tienes: x1 = 1.
b) x + 1 = 0, de donde tienes: x2 = -1
Luego, planteamos las funciones derivadas:
f ' (x) = 2x
g ' (x) = 3x² - 1
Luego pasamos a evaluarlas en los puntos de corte:
a) f ' (1) = 2, luego tenemos para el ángulo de inclinación de la recta tangente: tanα = 2, y tenemos: α ≅ 63,43°;
g ' (1) = 2, luego tenemos el mismo ángulo de inclinación.
Luego, el ángulo determinado por las gráficas en este punto de corte es : δ = 0 y las gráficas son tangentes entre sí en el punto de corte A(1,0).
b) f ' (-1) = -2, luego tenemos para el ángulo de inclinación de la recta tangente: tanβ = -2, y tenemos: β ≅ 116,57°;
g ' (1) = 2, luego tenemos el ángulo de inclinación de la recta tangente: tanα = 2, y tenemos: α ≅ 63,43°;
Luego, el ángulo determinado por las gráficas en este punto de corte es : φ ≅ 116,57° - 63,43° = 53,14°, y las gráficas son secantes entre sí en el punto de corte B(-1,0).
Espero haberte ayudado.
