porque, aplicando la definición de logaritmo, resulta:

log en base e de x = lnx    ->  lnx = lnx

Por que son funciones inversas y si recuerdas pasa lo siguiente: 

f^-1(f(x))=x ∨ f(f^-1(x))=x

Recuerda la función exponencial, cuya expresión es: f(x) = e^x, cuyo dominio es Df = R, y su imagen es If = (0,+inf).

Luego, su función inversa es la función logarítmica natura, cuya expresión es: g(x) = lnx, cuyo dominio es: Dg = (0,+inf), y su imagen es If = R.

Luego, como la composición de funciones inversas entre si es igual a la función identidad tienes:

a) e^lnx = x, con x ∈ (0,+inf).

b) ln(e^x) = x, con x ∈ R.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Dibuja un segmento de longitud 10, con un extremo en el origen de coordenadas, y el otro extremos en un punto del primer cuadrante, con ordenada y = 8.

El eje OX coincide con la línea de nivel de tierra, el eje OY es perpendicular y señala la altura del globo con respecto al nivel de tierra, y los extremos del segmento son los puntos de coordenadas O(0,0) y P(x,8), y tienes que |OP| = 10.

Luego, si llamas θ al ángulo determinado por el segmento OP y el semieje OX positivo, tienes:

senθ = 8/10, que al componer con la función inversa del seno queda: θ = 53,13° aproximadamente.

Observa que la longitud de la cuerda está representada por el segmento OP, y que los lados del triángulo son:

hipotenusa: OP, altura: segmento paralelo a OY trazado desde el punto P hasta cortar al eje OX, base: segmento con extremos en este último punto y el punto O(0,0):

Espero haberte ayudado.

Negro--> curso de Álgebra Lineal

Verde--> enunciados

Rojo--> Espacio vectorial

Gris--> cantidades escalares

Amarillo--> cantidades vectoriales

Muchas gracias! Es casi lo mismo a lo que yo pensaba solo que no diferencia las cantidades escalares y vectoriales!

Van juntos dentro del espacio vectorial, pero no revueltos :D, pues cada uno es una cosa diferente (ambos están separados por la conjunción "y")

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La matriz A sería:                El vector b sería:             El vector x lo sacas resolviendo el sistema

2   0    0                                  3  

0    4    0                                 5

0    0   -5                                 2            

Aaaahhhh...Entonces sale casi directo, simplemente despejando. Pues ¡¡¡muchas gracias!!! ;)

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1) Planteamos las derivadas hasta el orden cuatro, y las evaluamos para el centro de desarrollo a = 0:

f(x) = (1+x)^(1/2), con f(0) = 1

f ' (x) = (1/2)(1+x)^(-1/2), con f ' (0) = 1/2

f ' ' (x) = (-1/4)(1+x)^(-3/2), con f ' ' (0) = -1/4

f ' ' ' (x) = (3/8)(1+x)^(-5/2), con f ' ' ' (0) = 3/8

f ' ' ' ' (x) = (-15/16)(1+x)^(-7/2), con f ' ' ' ' (0) = -15/16

Luego planteamos la expresión del polinomio de Taylor de orden 4, con centro de desarrollo a = 0 y queda:

P(x) = 1 + (1/2)x - (1 / 4*2!)x^2 + (3 / 8*3!)x^3 - (15 / 16*4! )x^4, resolvemos coeficientes y queda:

P(x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 - (5/128)x^4.

b) Tenemos la función cuya expresión es: f(x) = x/(1+x) = ( (1+x) - 1 )/(1+x) = distribuimos el denominador = 1 - 1/(1+x) = 1 - (1+x)^(-1), con centro de desarrollo: a = 1.

Luego planteamos las derivadas hasta el orden 4, y las evaluamos para el centro de desarrollo:

f(x) = 1 - (1+x)^(-1), con f(1) = 1 - 1/2 = 1/2

f ' (x) = (1+x)^(-2), con f ' (1) = 1/4

f ' ' (x) = -2(1+x)^(-3), con f ' ' (1) = -1/4

f ' ' '(x) = 6(1+x)^(-4), con f ' ' ' (1) = 3/8

f ' ' ' ' (x) = -24(1+x)^(-5), con f ' ' ' ' (1) = -3/4

Luego planteamos el polinomio de Taylor de orden 4 con centro de desarrollo a = 1 y queda:

P(x) = 1/2 + (1/4)(x - 1) - (1 / 4*2! )(x - 1)^2 + (3 / 8*3! )(x - 1)^3 - (3 / 4*4! )(x - 1)^4, resolvemos coeficientes y queda:

P(x) = 1/2 + (1/4)(x - 1) - (1/8 )(x - 1)^2 + (1/16)(x - 1)^3 - (1/32)(x - 1)^4.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar con asignar dos valores distintos a x, por ejemplo: 0 y 3:

para x1 = 0, reemplazas y tienes: -3y + 6 = 0, de donde puedes despejar: y = 2, por lo que tienes el primer punto de la recta: P(0,2);

para x2 = 3, reemplazas y tienes: 6 - 3y + 6 = 0, de donde puedes despejar: y = 4, por lo que tienes el segundo punto de la recta: Q(3,4);

luego, planteamos las componentes del vector u = PQ:

u = < 3-0, 4-2 > = < 3 , 2 >, luego planteamos el producto escalar entre el vector u y el vector del enunciado: v = < 2 , -3 >:

u o v = < 3 , 2 > o < 2 , -3 > = 3*2 + 2*(-3) = 6 - 6 = 0, y por la condición de perpendicularidad entre vectores no nulos, tenemos que u ⊥ v.

Luego, para plantear las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta r, tomamos uno de sus puntos y su vector director u (observa que u es un vector cuyas componentes hemos calculado a partir de los puntos P y Q que pertenecen a la recta), por lo tanto quedan:

x = 0 + 3t

y = 2 + 2t

con t ∈ R.

a) Despejas y queda: x = 2 (observa que y está "libre"), por lo que es la ecuación de una recta paralela al eje de ordenadas OY, que corta al eje OX en el punto de coordenadas: A(2,0).

b) Despejas y queda. y = 3 (observa que x está "libre"), por lo que es la ecuación de una recta paralela al eje de abscisas OX, que corta al eje OY en el punto de coordenadas: B(0,3).

Espero haberte ayudado.

Excelente explicación, gracias por su ayuda! 

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1.   a)

2.  b)

3.  c)

Muchísimas gracias