Observa que tienes tres trozos:

0                para x < 0

x + 0,5      para 0 <= x <= 1

0               para x > 1

luego puedes graficar:

semirrecta: y = 0 a la izquierda del origen (semieje OX negativo), sin incluir el origen

segmento de recta: y = x + 0,5, desde el punto de coordenadas (0 , 0,5) hasta el punto de coordenadas (1 , 1,5) (observa que puedes hacer una tabla de valores)

semirrecta: y = 0, a la derecha del punto de coordenadas (1,0) (porción de semieje OX positivo) sin incluir a dicho punto.

Espero haberte ayudado.

Gracias de verdad el area de grafico ahi me dio 1 

Observa la segunda raíz del denominador en tu planteo, porque luego de sustituir queda igual a z^(1/3).

Observa también que el denominador es una suma de raíz cuadrada con raíz cúbica, y que el mínimo común índice entre ellas es 6, por lo que puedes proponer la sustitución (cambio de variable):

x + 2 = w^6, de donde tienes: dx = 6w^5 * dw, luego sustituyes y la integral queda:

I = Integral ( 6w^5 /(w^3 + w^2) )*dw, que puedes resolver aplicando el método de las fracciones parciales (observa que en este caso debes efectuar la división como primer paso).

Espero haberte ayudado.

tengo una duda, porque yo tenia entendido de que el minimo comun multiplo se podia calcular solo cuando las raices se estaban multiplicando, o igual se puede hacer en la suma?

La reducción a mínimo común índice entre expresiones con raíces es un recurso que podemos aplicar en cualquier situación, como en este caso, en el que resulta ser muy conveniente.

Propuesta: ensaya para la integral I1: resolución por fracciones parciales, observa que el denominador es factorizable: (x^4 - 1) = (x+1)(x-1)(x^2 + 1).

Haz el intento, y si es necesario puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

He llegado hasta aqui D: 

La idea es muy sencilla David. Por muy pequeño que puedas coger un número  c (una  miltrillonésima, .....) siempre podrás encontrar en la serie de números naturales un número n tal que: 

1/n , 1/(n+1), 1/(n+2),.... son todos menores que c.

Coges dos vectores no colineales (linealmente independientes) y haces su producto vectorial. El vector resultante, junto a los otros dos, forman una base. Lo justificamos haciendo el determinante formado por los tres vectores, que sería el volumen orientado del paralelepípedo que determinan. Este volumen no es 0, por lo que los tres vectores son linealmente independientes, formando una base de R^3.

Gracias Antonio. Osea que seria lo mismo para R4, o la dimension que sea? es siempre el mismo procedimiento?

Algo similar:

https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-Schmidt

Te explicamos, Diego. 

Dos cosas: He puesto x en lugar de n (me  he dado cuenta por la mitad, y ya lo he dejado así). No importa.

Entendí log como logaritmo neperiano. Si no lo es, haz el cambio de base.

Va, Keith:

Te ayudamos, Miriam: 

Te mando la demostración en dos supuestos: 

Exponente natural y exponente fraccionario.

Sin derivadas, Keith: 

Como demuestro la primera expresión de teoría?