20) Tienes la expresión de la función: f(z) = 3 / z, luego:

f(a) = 3 / a

f(1/a^2) = 3 / (1/a^2) = (3/1) / (1/a^2) = (3a^2) / 1 = 3a^2.

Luego tenemos finalmente:

f(a) / f(1/a^2) = (3/a) / (3a^2/1) = (3*1) / (a*3a^2) = 3 / (3a^3) = 1/a^3.

21) 

Con los datos que tenemos puedes plantear:

f(3) = f(3-1) + f(3-2), resolvemos los argumentos y queda:

f(3) = f(2) + f(1), observa que tenemos el dato: f(1) = 3, reemplazamos y queda:

f(3) = f(2) + 3 (*)

Y también podemos plantear:

f(2) = f(2-1) + f(2-2), resolvemos los argumentos y queda:

f(2) = f(1) + f(0), observa que tenemos los datos: f(1) = 3 y f(0) = 2, reemplazamos y queda:

f(2) = 3 + 2 = 5, reemplazamos en la ecuación señalada (*) y tenemos:

f(3) = 5 +3 = 8.

Espero haberte ayudado.

Observa en la tercera línea de tu desarrollo, los elementos son (factorizamos), y quedan cuatro ecuaciones:

fila1 col 1 = a(a+2b) + c(2a+4b) = (a + 2c)(a + 2b) = 0

fila1 col 2 = b(a+2b) + d(2a+4b) = (b + 2d)(a+2b) = 0

fila 2 col 1 = a(c+2d) + c(2c+4d) = (a + 2c)(c + 2d) = 0

fila 2 col 2 = b(c+2d) + d(2c + 4d) = (b + 2d)(c + 2d) = 0

Luego, debemos estudiar el sistema de ecuaciones:

(a + 2c)(a + 2b) = 0

(b + 2d)(a+2b) = 0

(a + 2c)(c + 2d) = 0

(b + 2d)(c + 2d) = 0

Observa que en las cuatro ecuaciones tenemos un producto de factores igualado a cero, por lo tanto podemos comenzar con la primera ecuación, que nos lleva a dos opciones:

1) a =-2c, que al sustituir en las demás ecuaciones (observa que en la tercera ecuación nos queda una identidad verdadera) queda:

(b + 2d)(-2c+2b) = 0

(b + 2d)(c + 2d) = 0

2) a=-2b, que al sustituir en las demás ecuaciones (observa que en la segunda ecuación nos queda una identidad verdadera) queda:

(-2b + 2c)(c + 2d) = 0

(b + 2d)(c + 2d) = 0.

Observa que en cada una de las opciones nos quedó un sistema de dos ecuaciones factorizadas e igualadas a cero, con dos incógnitas, que puedes seguir resolviendo en la misma forma, igualando cada factor de la primera ecuación a cero (lo que genera dos nuevas opciones) y reemplazando en la segunda.

Para este tipo de ejercicio, es muy conveniente trabajar con ecuaciones factorizadas e igualadas a cero, y debemos prestar mucha atención para no omitir alguna de las opciones que surgirán a lo largo del planteo.

Queda para que hagas el intento de resolver el ejercicio, y en todo caso consulta nuevamente si te ves en una complicación. 

Espero haberte ayudado.

Eliel, el 6 esta elevado a (a) ó es (6a)?

Nelso es (6a)

Los criterios son los mismos que para funciones de una variable. En este caso, el argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero.

Si se trata de una expresión del tipo u/v, la condición es que v sea distinto de cero.

Si se trata de una expresión del tipo V(u), la condición es que u sea mayor o igual que cero.

Por ejemplo si la función tiene la expresión (modificamos ligeramente el argumento de tu enunciado):

f(x,y) = ln(-8 + (1/2)y - x)

Planteamos:

-8 + (1/2)y - x > 0

luego hacemos pasaje de términos:

(1/2)y > x + 8

multiplicamos por 2 en todos los términos y queda:

y > 2x + 16.

Luego, para visualizar, graficamos la recta de ecuación y = 2x + 16, y el dominio corresponde al semiplano que se encuentra por encima de la misma, sin incluirla, y formalmente tenemos:

Dom(f) = { (x,y) perteneciente a R^2: y > 2x + 16 }.

Espero haberte ayudado.

Ni uno ni 3... Las coordenadas de la trayectoria crecen a la misma velocidad si se cumple que dx/dt=dy/dt... Pero sin más datos es imposible hacer ese apartado...

Pues el ejercicio ha caido en un examen, y lo ha resuelto el profesor... :$

entonces que datos me tendrian que dar para solucionar ese apartado???

Me acaban de decir que si sustituyes x=3 en dy/dt, el resultado es 1,  y así es como se verifica la igualdad.

Gracias por su tiempo igualmente.

f-g es la resta de ambas funciones...
Te tocará representar la función resultante y luego a partir de la gráfica determinar el recorrido.. Te sugiero todos los vídeos relativos a la función signo...
El trabajo duro tiene que ser el tuyo... El dominio,  todo |R... porque no hay radicales de indice par, ni fracciones, ni logaritmos, ni tangentes... 

De acuerdo con el Colega David. 

Recuerda que la función sgn(x) es una función a trozos, cuya expresión es:

-1     si x < 0

0     si x = 0

1     si x > 0

Luego, observa que la función sgn(x-1) también es una función a trozos, cuya expresión es (recuerda que el gráfico de sgn(x) se traslada una unidad hacia la derecha):

-1    si x < 1

0     si x = 1

1     si x > 1.

A partir de aquí, puedes ver que la función f(x) es una función a trozos (observa que su punto de corte es x = 1), cuya expresión es:

-1(x^2 + 2)     si x < 1

0(x^2 + 2)        si x = 1

1(x^2 + 2)        si x > 1

Luego, observa que para la función sgn(x^2), su argumento toma valores positivos o cero, por lo que tenemos una función a trozos:

1    si x < 0

0    si x = 0

1    si x > 0.

A partir de aquí, puedes ver que la función g(x) es una función a trozos (observa que su punto de corte es x = 0), y su expresión es:

2x     si x < 0

0      si x = 0

2x    si x > 0.

Luego, la expresión de la función ((f - g) también será una función a trozos, pero con dos puntos de corte, x = 0 y x = 1, y las expresiones las obtendrás restando, tal como indicó el colega David:

-(x^2 + 2) - 2x     si x < 0

-(x^2 + 2) - 0       si x = 0

-(x^2 + 2) - 2x    si 0 < x < 1

0 - 2x                  si x = 1

(x^2 + 2) - 2x    si x > 1.

Luego, puedes operar en las expresiones de cada trozo para llevarlas a sus mínimas expresiones.

Espero haberte ayudado.

David: Antes de publicar ese problema, he visto todos los vídeos de Función Signo y aún así no podía entender ese problema.
Realmente gracias por ayudarme.
Señor Antonio Silvio Palmitano:  Muchas gracias. Entendí a la perfección todo el desarrollo que realizaste. 
*(Sinceramente pensé que nadie me respondería) Gracias por su ayuda David y Antonio.

Si no nos envías paso a paso todo lo que hiciste no sabría que decirte (nos obligarías a hacer nosotros todo el ejercicio)...
Es mucho mejor que hagas tu el trabajo duro y nos envíes una foto con todo aquello que hayas conseguido hacer por ti mismo. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber tu nivel, en que podemos ayudarte, cuales son tus fallos....  #nosvemosenclase Nos cuentas ¿ok?

Creo que no me expresé bien.

Con la foto queda claro, arriba el enunciado. Abajo mi desarrollo y respuesta.

Quería saber si lo he hecho bien.