¿exploración física?....

Para dar solución a tu problema debes considerar 3 casos.
Si a=0, te queda una integral directa:
Si a0, te queda una integral que también se resuelve por sustitución trigonométrica.

creo que esta bien, aunque por notación cuando sacas el 4x del paréntesis debería estar (4x)^3 y no 4x^3 pero al final si elevaste el 4 asi que el resultado esta bien

(t+1,1)=α(2,3t+2)
De lo anterior podemos obtener que:
t+1=2α y 1=α(3t+2)
Despejamos α de ambas ecuaciones:
α=(t+1)/2 y α=1/(3t+2)
Igualamos ambas ecuaciones:
(t+1)/2=1/(3t+2)→(t+1)(3t+2)=2
Resuelve y obtendras que:
t=0 y t=-5/3

Inténtala por partes:
u=x²+2x
dv=e^(-x) dx

El limite cuando x tiende a 0 de senx/x es igual a 1.... Te vendrían muy bien estos vídeos... Infinitésimos equivalentes
Y los de esta lección... Limite trigonometrico 01 (infinitesimo)
Te quedará 1 elevado a infinito. De nuevo te recomiendo veas los videos de limites que te indiqué...

En el segundo te queda ∞-∞..... Pasa a comun denominador... Te quedará limx->1 [x.sen(x-1) - lnx] / [lnx.sen(x-1)] = 0/0...
Y ahora LHOPITAL, derivando a numerador y denominador por separado...
limx->1 [x.sen(x-1) - lnx] / [lnx.sen(x-1)] = 0/0...
Si haces cambio de variable... Limite 0/0 con cambio de variable x-1=t.... cuando x->1..... t->0
Te quedará lim t->0 [(t+1).sent - ln(t+1)] / [ln(t+1).sent]
Por infinitesimos equivalentes, cuando t->0... ln(1+t)≈t y sent≈t... Por tanto... lim t->0 [(t+1)t - t] / [t.t] = lim t->0 t²/t²=1

En el ultimo cos²x=1-sen²x pues sen²x+cos²x=1 (identidad fundamental de la trigonometria)
Por identidades notables a²-b²=(a+b)(a-b)... Por tanto 1-sen²x=(1+senx)(1-senx)
Y simplificamos pues quedaría senx(1-senx) / ((1+senx)(1-senx)) = senx / (1+senx).. cuando x tiende a PI/2, te quedará 1/(1+1)=1/2...

Te sugiero, que veas TODOS LOS VIDEOS DE LIMITES.. En ellos explico todos los "trucos" que necesitas para resolverlos... ANIMO!

Mil gracias profe...

El primero es 0 elevado a 0... Limite Logaritmico
El segundo es 1 elevado a infinito... Limite UNO ELEVADO a INFINITO
El tercero es infinito/infinito... Se puede hacer por LHOPITAL... Limite 0/0 con LHOPITAL

Se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. #nosvemosenclase Nos cuentas ¿ok?

La derivada de xy² con respecto a y es igual a 2xy...
Eso te cambia los resultados del ejercicio (que planteaste genial).. Abrazos!

Imagino que esa recta viene dada en sus ecuaciones paramétricas. Si el plano contiene al pto que te dan (lo llamaremos P), y a esa recta, significa que todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano. La ecuación de la recta, estando en paramétricas, deja a la vista su vector director y un punto que pertenece a ella, por lo que estará también en el plano.

El plano lo determinarás con un punto y dos vectores: el punto te lo dan, un vector será el vector director de la recta y el otro vector será el vector AP (siendo A el punto de la recta). Rectas y Planos Es lo que hay por aquí :)

Tienes muchos vídeos, aunque me queda la duda de que entiendes tú por representacion de limites....
os de ASINTOTAS, los de "ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN", los de "DEFINICION DE LIMITE"... Te sugiero busques esos conceptos..
#nosvemosenclase ;)