Prueba en el foro de tecnología ;)

Espero que te ayude, un saludo.

Javi Tinoco. 

Pasamos la velocidad inicial a unidades del sistema internacional (SI).

vo = 54 km/h*(1000 m/1 km)*(1 h/3600 s) = 15 m/s

Recordamos la ecuación de posición para este caso viene dada por la expresión: 

y = yo + vo*t - 0.5*g*t² 

Tomando como referencia el lugar justo de lanzamiento (yo =0):

y = vo*t - 0.5*g*t² 

Reemplazando los datos del problema: 

y = 15*t - 0.5*9.81*t² = 15*t - 4.905*t²   →   y = 15*t - 4.905*t² 

Para obtener la ecuación de velocidad derivamos la ecuación de posición respecto al tiempo.

v = d/dt [y] = 15 - 9.81*t   →   v = 15 - 9.81*t

a)

Entonces para la posición y velocidad a en t = 1 s y t = 4 s tan solo reemplazamos estos tiempo en las ecuaciones ya calculadas.

y(1) = 15*1 - 4.905*1² = 10.095 m   →   y(1) = 10.095 m

v(1) = 15 - 9.81*1 = 5.19 m/s   →   v(1) = 5.19 m/s

y(4) = 15*4 - 4.905*4² = 10.095 m   →   y(4) = -18.48 m

v(4) = 15 - 9.81*4 = 5.19 m/s   →   v(4) = -24.24 m/s

Los valores negativos indican que la piedra está por debajo del sistema de referencia escogido. b) Para la altura máxima debemos obtener el tiempo de subida. Para ello, igualamos a cero la ecuación de velocidad y despejamos "t".v = 15 - 9.81*t = 0   →   t = 1.5291 sY reemplazando este tiempo en la ecuación de posición hallamos la altura máxima. y(1.5291) = 15*1.5291 - 4.905*1.5291² = 11.4679 m   →   y(1.5291) = 11.4679 mc) Para la velocidad cuando x = 8 m reemplazamos este valor en la ecuación de posición y despejamos para "t".8 = 15*t - 4.905*t²    →   t = 0.6882 sY reemplazando este tiempo en la ecuación de velocidad la incognita. v(0.6882) = 15 - 9.81*0.6882 = 8.2488 m/s   →   v(0.6882) = 8.2488 m/sCuando la piedra pasa por este mismo punto pero de caída tendrá la misma velocidad, solo que negativa. d) El tiempo que trascurre desde que se lanza la piedra hasta que vuelve a pasar por ese mismo punto será el tiempo de subida por dos. t =2*1.5291 = 3.0582 s   →   t = 3.0582 s

Aplicamos la ecuación que relaciona la velocidad angular, aceleración angular y el tiempo:

ωf = ωo + α*t

Como parte del reposo (ωo = 0). Entonces: 

ωf = α*t

Reemplazando los datos que tenemos en la ecuación anterior podemos hallar la aceleracion angular. 

10 = α*5   →   α = 2 rad/s² 

Para t = 3 s, el disco esta en una primera etapa (acelerando). Calculamos la velocidad angular para este tiempo: 

ωf = 2*3 = 6 rad/s   →   ωf = 6 rad/s

Con este valor podemos hallar la aceleración centrípeta aplicando la ecuación:

a_c = R*ωf² = 0.5*6² = 18 m/s²   →   a_c = 18 m/s² 

Para t = 8 s, el disco se encuentra en una segunda etapa (movimiento constante). La velocidad angular en esta etapa es de 10 rad/s.

Aplicando la ecuación de de aceleración centrípeta: 

a_c = R*ωf² = 0.5*10² = 50 m/s²   →   a_c = 50 m/s² 

Para t = 15 s, el disco esta en una tercera etapa (desacelerando). Calculamos la desaceleración aplicando la primera ecuación escrita.

ωf = ωo + α*t

0 = 10 + α*10   →   α = - 1 rad/s² 

Entonces la velocidad angular para t = 15 s es: 

ωf = ωo + α*t

ωf = 10 + (-1)*(15-10)   →   ωf = 5 rad/s

Y la aceleración centrípeta vale: 

a_c = R*ωf² = 0.5*5² = 12.5 m/s²   →   a_c = 12.5 m/s² 

La aceleración tangencial la encontramos aplicando la ecuación:

a_t = R*α

Para t = 3 s: 

a_t = 0.5*2 = 1 m/s²   →   a_t = 1 m/s² 

Para t = 8 s: 

a_t = 0.5*0 = 0 m/s²  →   a_t = 0 m/s² 

Para t = 15 s: 

a_t = 0.5*-1 = -0.5 m/s²   →   a_t = -0.5 m/s² 

La aceleración total será la suma vectorial de ambas aceleraciones (centrípeta y tangencial). 

Para t = 3 s: 

a_T = √ [(18)² + (1)²] = 18.0278 m/s²   →   a_T = 18.0278 m/s² 

Para t = 8 s: 

a_T = √ [(50)² + (0)²] = 50 m/s²   →   a_T = 50 m/s² 

Para t = 15 s: 

a_T = √ [(12.5)² + (-0.5)²] = 12.51 m/s²   →   a_T = 12.51 m/s² 

El momento de inercia total será la suma de los momentos de inercia de cada masa puntual por separado. 

El momento de inercia de una masa puntual se determina multiplicando la masa por el cuadrado de la distancia al eje de rotación. Matemáticamente: 

I_x = ∑(m_i*R_i²)

Dicho esto: 

I_x = 4*2² + 2*1² + 3*3² 

I_x = 45 kg*m² 

Y la energía cinética rotacional la evalúas con la ecuación que mencionas:

K_R = 0.5*I_x*ω² = 0.5*45*2² 

K_R = 90 J

Planteamos la ecuación que relaciona las velocidades iniciales y finales con la altura del balón: 

vf² - vo² = - 2*g*h

En la altura máxima (vf = 0). Entonces: 

- vo² = - 2*g*h

Reemplazando los datos que tenemos, podemos hallar la velocidad inicial. 

vo² = 2*9.81*8   →   vo = 12.5284 m/s

Aplicando la ecuación que relaciona las velocidades iniciales y finales con el tiempo de subida:

vf = vo - g*t

En la altura máxima (vf = 0). Entonces reemplazando datos y despejando "t":

0 = 12.5284 - 9.81*t   →   t_subida = 1.2771 s

El tiempo total de vuelo sera el doble del tiempo de subida: 

t_vuelo = 2*t_subida = 2*1.2771 = 2.5542 s   →   t_vuelo = 2.5542 s

Ahora aplicamos la ecuación de posición horizontal:

x = xo + vox*t + 0.5*a*t² 

Tomando como referencia el lugar de tiro (xo = 0). No hay velocidad inicial en este eje (vox = 0). Entonces: 

x = 0.5*a*t² 

Reemplazando x = 5 m, t_vuelo = 2.5542 s y resolviendo para "a" obtenemos la respuesta del problema. 

5 = 0.5*a*2.5542²    →   a = 1.5328 m/s² 

Para empezar el tiempo π/2 que te dan se trata del semiperiodo (tiempo en que tarda el cuerpo en realizar media oscilacion completa), con lo cual el periodo será:

T= π s

Seguidamente con esto puedes hallar la frecuencia angular:

ω=2π/T= 2 rad/s

Una vez tienes esto el apartado a) consiste en aplicar la expresión:

x(t)=Asen(ωt+φ₀) siendo A=0,05 m para cada tiempo que te dan (importante poner la calculadora en modo radianes)

Recuerda también φ₀ lo determinas con las condiciones iniciales que te da el ejercicio, sabiendo que cuando t=0 => x(t)=0,05 m

Finalmente el apartado b) consiste en derivar la expresion del apartado a) una vez para obtener la velocidad y de nuevo otra apara obtener la aceleración, sabiendo que ambas serán máximas cuando las razones trigonométricas tomen valor 1, es decir:

v_max(t)=Aω

a_max(t)=-Aω²

Te dejo los cálculos a ti ;)

Este ejercicio es más específico del foro de tecnología, prueba allí Carmen, un saludo ;)

10. 

Determinamos el momento de inercia de la masa puntual, la esfera y de la barra rígida respecto al eje dado. 

Para la esfera y la varilla aplicamos el teorema de los ejes paralelos. 

Para la masa puntual: 

I_m = m*[(L/2)-x]² = 0.60*[(2/2)-0.30]² = 0.294 kg*m² 

I_m = 0.294 kg*m² 

Para la esfera: 

I_e = I_CM + m_e*(r_e+L/2+x)² = (2/5)*m_e*r_e² + m_e*(r_e+L/2+x)² = (2/5)*1.5*0.15² + 1.5*(0.15+2/2+0.30)² = 3.1673 kg*m² 

I_e = 3.1673 kg*m² 

Para la varilla delgada: 

I_v = I_CM + m_v*x² = (1/12)*m_v*L² + m_v*x² = (1/12)*3*2² + 3*0.30² = 1.27 kg*m² 

I_v = 1.27 kg*m² 

Finalmente, el momento de inercia total sera la suma de las tres antes calculadas: 

I_x = I_m + I_e + I_v = 0.294 + 3.1673 + 1.27 = 4.7313 kg*m² 

I_x = 4.7313 kg*m² 

12. 

Cada partícula en la puerta podría deslizarse hacia abajo en una barra de alta densidad a través de su parte inferior, sin cambiar la distancia de la partícula desde el eje de rotación de la puerta. Por esta razon el dato de la altura de la puerta es innecesario para el ejercicio. Así, una varilla de 1 m de ancho (longitud) con una masa de 19 kg, girada alrededor de un extremo, tiene la misma inercia de rotación que la puerta. Recordemos que el momento de inercia de una varilla delgada con eje de rotación a travez de un extremo esta dado por la expresión:

I = (1/3)*m*L²

Dicho esto, la respuesta del problema seria:

I = (1/3)*19*1² = 6.3333 kg*m²

I = 6.3333 kg*m²