Pasamos los datos a unidades del sistema internacional de medidas (SI). 

ωf = 30 rpm*(2 π rad/1 rev)*(1 min/60 s) = π rad/s

R = 25 cm*(1 m/100 cm) = 0.25 m

Aplicamos la ecuación que relaciona las velocidades angulares, aceleración angular y el tiempo: 

ωf = ωo + α*t

Reemplazando los datos y resolviendo para "α": 

π = 0 + α*15   →   α = π/15 rad/s² 

Esto es para la lavadora. Sin embargo, como la prenda de ropa está en contacto directo va a compartir la misma aceleración angular. 

Entonces, aplicando la misma ecuación de arriba podemos saber cuánto es la velocidad angular a los 5 s. 

ωf = ωo + α*t = 0 + (π/15)*5 = π/3 rad/s

Con esta velocidad podemos hallar la aceleración centrípeta (normal) con la ecuación: 

a_c = R*ω²  

Dicho esto: 

a_c = R*ωf² = 0.25*(π/3)² = 0.2742 m/s²   →   a_c = 0.2742 m/s²

Y la aceleración tangencial la hallamos aplicando la ecuación: 

a_t = R*α

Dicho esto: 

a_t = 0.25*π/15 = 0.0524 m/s²    →   a_t = 0.0524 m/s² 

Y la aceleración total es la suma vectorial de estos dos valores. 

a_T = √ [(0.2742)² + (0.0524)²] = 0.2792 m/s

a_T = 0.2792 m/s² 

4. 

Aplicamos la segunda ley de newton al conjunto carga-auto.

Podemos ver que hay presencia de dos fuerzas: la que ejerce el operario y la de fricción. 

Dicho esto: 

∑F = m*a

F - fr = m*a

Expresamos la masa del conjunto carga-auto en función del peso y la gravedad. 

F - fr = (w/g)*a

Reemplazando los datos que tenemos y resolviendo para "F": 

F - 520 = (100/9.81)*0.5   →   F = 525.0970 N

La fuerza que realiza el operario es ligeramente mayor a la permitida por organización de salud (523 N).

Hay que bajar un poco el peso del conjunto carga-auto. 

3. Método analítico. 

a)

Sumatorias de fuerzas en el eje "y" igual a cero (equilibrio): 

∑F_y = 0   →   T_A*Sin(60º) + T_B*Sin(60º) - 2000 = 0

Sumatorias de fuerzas en el eje "x" igual a cero (equilibrio): 

∑F_x = 0   →   T_A*Cos(60º) - T_B*Cos(60º) = 0

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo por cualquier métodos obtenemos que: 

T_A = 1154.7 lbf

T_B = 1154.7 lbf

b) 

Sumatorias de fuerzas en el eje "y" igual a cero (equilibrio): 

∑F_y = 0   →   T_A*Sin(30º) + T_B*Sin(30º) - 2000 = 0

Sumatorias de fuerzas en el eje "x" igual a cero (equilibrio): 

∑F_x = 0   →   T_A*Cos(30º) - T_B*Cos(30º) = 0

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo por cualquier métodos obtenemos que: 

T_A = 2000 lbf

T_B = 2000 lbf

3. Método grafico. 

a) 

Hacemos un triangulo de fuerzas con las tensiones (T_A, T_B ) y el peso. El bosquejo de dicho triangulo te lo dejo a continuación (ojo, hay que respetar los ángulos): 

Y teniendo esto hecho, lo demás es aplicar la ley del seno para hallar los valores de T_A y T_B. Dicho esto: 

T_A/Sin(30º) = T_B/Sin(30º) = 2000/Sin(120º) 

Resolviendo para "T_A" y "T_B": 

T_A = [2000/Sin(120º)]*Sin(30º) = 1154.7 lbf   →   T_A = 1154.7 lbf

T_B = [2000/Sin(120º)]*Sin(30º) = 1154.7 lbf   →   T_B = 1154.7 lbf

De esta misma manera puedes hacer la parte b), siguiendo exactamente el mismo procedimiento que aquí plasme.

Igual me cuentas cualquiera duda. 

Aplicamos sumatoria de momentos en la polea. Dicha sumatoria será igual al momento de inercia "I" de la polea (disco) por su aceleración angular "α". 

∑τ = I*α

La única fuerza que realiza un momento en la polea es la fuerza de tensión que ejerce la cuerda respecto al centro de dicha polea.

Sabemos también que para un disco el momento de inercia vale: I_p = 0.5*m_p*r_p² 

Dicho esto, reemplazamos y despejamos para "α": 

T*r_p = 0.5*m_p*r_p²*α

T = 0.5*m_p*r_p*α

α = T/(0.5*m_p*r_p)

Ahora aplicando segunda ley de newton a la masa colgada tenemos que: 

∑F = m*a

m*g - T = m*a

Resolviendo para "a":

a = (m*g - T)/m

Y de la cinemática circular sabemos que estas dos aceleraciones se relacionan entre si por medio de la expresión: 

a = α*r_p 

Reemplazando los valores de aceleración en esta última ecuación podemos hallar el valor de la tensión. Omito proceso algebraico:

(m*g - T)/m = [T/(0.5*m_p*r_p)]*r_p = T/(0.5*m_p)

T = (0.5*m*g*m_p)/(m+0.5*m_p)

Y finalmente reemplazando este valor de tensión en la ecuación de aceleración para "m": 

a = {m*g - [(0.5*m*g*m_p)/(m+0.5*m_p)]}/m

Reemplazando ahora los datos que tenemos en esta ultima ecuación damos con la respuesta: 

a = {0.5*9.81 - [(0.5*0.5*9.81*2)/(0.5+0.5*2)]}/0.5 = 3.27 m/s² 

a = 3.27 m/s² 

Energía cinética rotacional de un cuerpo:

K_R = 0.5*I*ω² 

donde "I" es el momento de inercia y "ω" la velocidad angular. 

Para el anillo:

I = m₁*r₁² 

Sustituyendo en la ecuación de energía: 

K_R1 = 0.5*m₁*r₁²*ω₁² 

Para el disco:

I = 0.5*m₂*r₂² 

Sustituyendo en la ecuación de energía: 

K_R2 = 0.5*0.5*m₂*r₂²*ω₂² = 0.25*m₂*r₂²*ω₂² 

Haciendo una relación entre estas dos energías:

K_R1/K_R2 = (0.5*m₁*r₁²*ω₁²)/(0.25*m₂*r₂²*ω₂²) 

Y como la masa, radio y velocidad angular de ambos objetos son iguales: 

m₁ = m₂ = m

r₁ = r₂ = r

ω₁ = ω₂ = ω

Tenemos que: 

K_R1/K_R2 = (0.5*m*r²*ω²)/(0.25*m*r²*ω²) = 2

K_R1 = 2*K_R2 

Lo que significa que la energía cinética rotacional del anillo tendrá el doble de la energía que el disco. 

Pues sí. Aunque no parezca, a nivel molecular siempre habrá movimiento de partículas. Todo está en constante oscilación. Una buena explicación más a fondo de esto conlleva conceptos complejos. Y al nivel que estas, bachiller, creo que no es tan importante demostrar el porqué. Al menos no por el momento. 

Vamos con una orientación.

Planteas un sistema de referencia con eje OX paralelo al plano inclinado con sentido positivo hacia abajo, eje OY perpendicular al plano inclinado con sentido positivo hacia arriba, y sentido positivo de giros acorde con el giro de la esfera, y tienes las ecuaciones (observa que llamamos θ al ángulo de inclinación del plano):

P*senθ - fr_e = M*a,

N - P*cosθ = 0,

R*fr_e = I*α;

sustituyes las expresiones del módulo del peso de la esfera (P = M*g), de su momento de inercia con respecto a un eje que pasa por su centro de masas (I = (2/5)*M*R²), y de a aceleración angular (α = a/R), y queda:

M*g*senθ - fr_e = M*a (1),

N - M*g*cosθ = 0, de aquí despejas: N = M*g*cosθ,

R*fr_e = (2/5)*M*R²*a/R, de aquí despejas: fr_e = (2/5)*M*a (2);

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

M*g*senθ - (2/5)*M*a = M*a, aquí sumas (2/5)*M*a en ambos miembros, y queda:

M*g*senθ = (7/5)*M*a, aquí multiplicas por 5, divides por M y divides por 7 en ambos miembros, y queda:

(5/7)*g*senθ = a, 

que es la expresión del módulo de la aceleración lineal de la esfera en función del módulo de la aceleración gravitatoria terrestre y del ángulo de inclinación del plano inclinado.

Espero haberte ayudado.

a)

Con el rodillo rodando sin deslizar sobre la superficie horizontal rugosa.

Considera un sistema de referencia con eje OX paralelo a la superficie rugosa con sentido positivo acorde al desplazamiento del rodillo, y con eje OY vertical con sentido positivo hacia arriba.

Luego, observa que sobre el rodillo están aplicadas cuatro fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones, sentidos y puntos de aplicación.

Peso: P = M*g, vertical, hacia abajo, en el centro de masas del rodillo;

Acción Normal de la superficie: N, vertical, hacia arriba, en el centro de masas del rodillo;

Fuerza externa: F, horizontal con el sentido del semieje OX positivo, en el centro de masas del rodillo;

Rozamiento estático de la superficie: fr_e, horizontal, con el sentido del semieje OX negativo, en los puntos de contacto del rodillo con la superficie rugosa (observa que estos puntos conforman un segmento paralelo al eje del rodillo, y recuerda que en las rodaduras sin deslizamiento esta fuerza es conservativa).

Luego, aplicas la Segunda Ley de Newton para traslaciones, y tienes las ecuaciones:

F - fr_e = M*a (1),

N - P = 0, de aquí despejas: N = P = M*g.

Luego, planteas los momentos de las fuerzas con respecto al eje del rodillo, observa que la única fuerza que produce momento es la fuerza de rozamiento estático, por lo que tienes la ecuación:

τ_fre = I*α,

aquí sustituyes la expresión del momento de la fuerza de rozamiento (τ_fre = R*fr_e), sustituyes la expresión del momento de inercia del cilindro con respecto a su eje de masas (I = (1/2)*M*R²), sustituyes la expresión de la aceleración angular en función de la aceleración lineal y del radio del rodillo (α = a/R), y queda:

R*fr_e = (1/2)*M*R²*a/R,

aquí divides por R en ambos miembros, simplificas en el segundo miembro, y queda:

fr_e = (1/2)*M*a (2),

que es la expresión del módulo de la fuerza de rozamiento estático;

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en la ecuación señalada (1), y queda:

F - (1/2)*M*a = M*a, 

aquí sumas (1/2)*M*a en ambos miembros, y queda:

F = (3/2)*M*a,

aquí multiplicas por 2, divides por 3 y divides por M en ambos miembros, y queda:

2*F/(3*M) = a,

que es la expresión del módulo de la aceleración lineal del rodillo en función de su masa y del módulo de la fuera externa aplicada;

luego, sustituyes esta última expresión remarcada en la ecuación señalada (2), y queda:

fr_e = (1/2)*M*( 2*F/(3*M) ), resuelves el coeficiente, simplificas, y queda:

fr_e = (1/3)*F,

que es el valor del módulo de la fuerza de rozamiento estático en función del módulo de la fuerza externa aplicada.

b)

Con el rodillo desplazándose sobre una superficie horizontal lisa.

Observa que no tienes rozamiento alguno, por lo que tienes que el rodillo se traslada sin rodar, por lo que aplicas la Segunda Ley de Newton, y tienes el sistema de ecuaciones:

F = M*a, de aquí despejas: F/M = a,

N - P = 0, de aquí despejas: N = P = M*g.

Espero haberte ayudado.

Con los datos que tienes, puedes plantear las expresiones:

I = (1/2)*M*R² = (1/2)*100*0,5² = 12,5 Kg*m² (momento de inercia de la rueda),

ω_i = 2π*50/60 = 5π/3 rad/s (rapidez angular de la rueda),

ω_f = 0 (rapidez final de la rueda),

Δt = 6 s (intervalo de tiempo de frenado),

N = 70 N (módulo de la fuerza radial aplicada),

fr_d = μ_d*N = μ_d*70 (en N) (módulo de la fuerza de rozamiento tangencial aplicada)

α = a determinar (aceleración angular de la rueda),

a = R*α = 0,5*α (aceleración angular de la rueda).

Luego, planteas la expresión de la aceleración angular de Movimiento Circular Uniformemente Variado, y queda:

α = (ω_f - ω_i)/Δt = (0 - 5π/3)/6 = -5π/18 rad/s².

Luego, aplicas la Segunda Ley de Newton, en este caso para giros (observa que consideramos positivo al sentido de giro de la rueda, por lo que tienes que la fuerza de rozamiento produce un momento negativo), y queda:

-R*fr_d = I*α, sustituyes expresiones, y queda:

-0,5*μ_d*70 = 12,5*(-5π/18), resuelves operaciones entre números en ambos miembros, y queda:

-35*μ_d ≅ -10,908, divides por -35 en ambos miembros, y queda:

μ_d ≅ 0,312.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que sobre el bloque señalado (1) actúan cuatro fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos (observa que consideramos que este bloque asciende por el plano inclinado):

Peso: P₁ = M₁*g = 25*9,8 = 245 N, vertical, hacia abajo,

Acción normal del plano inclinado: N, perpendicular al plano inclinado, hacia arriba,

Rozamiento dinámico del plano inclinado: fr_d = μ_k*N = 0,2*N, paralela al plano inclinado, hacia abajo,

Tensión del tramo de cuerda que sujeta al bloque: T₁, paralela al plano inclinado, hacia arriba;

luego, aplicas la Segunda Ley de Newton (consideramos un eje OX paralelo al plano inclinado con sentido positivo hacia arriba, y con eje OY perpendicular al plano inclinado con sentido positivo hacia arriba), y queda el sistema de ecuaciones:

T₁ - P₁*sen(30°) - fr_d = M₁*a,

N - P₁*cos(30°) = 0;

luego, sustituyes expresiones, y queda:

T₁ - 245*sen(30°) - 0,2*N = 25*a,

N - 25*cos(30°) = 0, de aquí despejas: N = 25*cos(30°) ≅ 21,651 N;

luego, reemplazas este valor rearcado en la primera ecuación, resuelves su segundo y su tercer término, y queda:

T₁ - 122,5 - 4,330 = 25*a, aquí reduces términos numéricos, y luego despejas: 

T₁ ≅ 25*a + 126,83 (1).

Observa que sobre el bloque señalado (2) actúan dos fuerzas, de las que indicamos sus módulos, direcciones y sentidos (observa que consideramos que este bloque desciende):

Peso: P₂ = M₂*g = 40*9,8 = 392 N, vertical, hacia abajo,

Tensión del tramo de cuerda que sujeta al bloque: T₂, vertical, hacia arriba;

luego, aplicas la Segunda Ley de Newton (consideramos un eje OY vertical con sentido positivo hacia abajo), y queda el sistema de ecuaciones:

T₂ - P₂ = M₂*a;

luego, sustituyes expresiones, y queda:

T₂ - 392 = 40*a; de aquí despejas:

T₂ = 40*a + 392 (2).

Observa que sobre la polea están aplicadas las dos tensiones de los tramos de cuerda, y que de acuerdo a nuestra suposición, tienes que ésta gira con sentido horario, por lo que aplicas la Segunda Ley de Newton, en este caso para giros (consideramos que el eje de momentos de fuerza es el eje de la polea), y queda:

R*(T₂ - T₁) = I_P*α,

expresas al módulo de la aceleración angular en función de la aceleración tangencial y del radio de la polea, y queda:

R*(T₂ - T₁) = I_P*a/R, 

divides por R en ambos miembros, y queda:

T₂ - T₁ = I_P*a/R², 

reemplazas valores en el segundo miembro, y queda:

T₂ - T₁ = 0,005*a/0,1², 

resuelves el coeficiente en el segundo miembro, y queda:

T₂ - T₁ = 0,5*a (3).

Luego, queda que sustituyas las expresiones señaladas (2) (1) en la ecuación señalada (3), para luego resolverla.

Espero haberte ayudado.

b)

Tienes el valor de la velocidad inicial en esta etapa:

v_i = 100 Km/h = 100*1000/3600 = 250/9 m/s.

Tienes el valor del módulo de la desaceleración, por lo que la expresión de la aceleración queda:

a = -3 m/s².

Tienes el valor de la velocidad final:

v = 0.

Luego, planteas la ecuación tiempo-velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, y queda:

v = v_i + a*t, aquí reemplazas valores, y queda:

0 = 250/9 - 3*t, y de aquí despejas:

t = 250/27 s ≅ 9,529 s.

Espero haberte ayudado.